约瑟夫森效应
约瑟夫森（Josephson）效应（以下简称为约氏效应）是超导体的一种宏观量子效应，所以在讨论约氏效应以前，有必要先简单介绍一下超导现象和宏观量子效应。
一、超导和宏观量子效应
早在1911年荷兰的昂尼斯（Onnes）就在实验中发现了超导现象，他发现的超导体是水银，以后又陆续发现某些金属（如Nb、Pb、V、Al，Zn、*等）和合金（如NbsGe、Nb,Ga、NbaAI、NbsAl,Ge等等）也具有超导性，目前已发现了上千种超导体。这些超导体在低于某一临界温度Tc以后（Tc一般都很接近于绝对零度，目前已知Tc最高的是Nb3Ge，其Tc=23.4K)，其电阻率突然降到零，成为超导电状态。在超导电状态下，超导体的电阻为零，故电流流过超导体不产生电压降，也没有损耗。当温度升高到大于某个值以后，超导电状态消失，转变为具有电阻的正常导电状态。
关于超导的微观机理的探索延续了将近半个世纪，直到1957年才由巴丁（J.Bardeen）、库珀（L.N.Cooper）和施瑞弗（J.R.Schrieffer）建立起系统的理论），即著名的BCS理论。BCS理论相当复杂，需要用到量子力学，量子统计，固体物理等基确理论，远远超出本书的范围，这里只能作一些定性的简单概念的介绍。
BCS理论认为超导体中参与导电的不是单个电子，而是所谓“库珀电子对”(Cooper pairs)，这是解释超导现象的关键概念。库珀电子对是超导电流的载流子，它是由两个电子配对而成的，带有两倍电子电荷（-2e）。组成库珀电子对的两个电子彼此隔开相当大的距离，通过某种长程相互作用束在一起。本来电子与电子之间的静电力是斥力，不可能由此而配成对，但金属中的自由电子除了静电力以外，还可以通过晶格点阵的振动而产生长程相互作用（即电子之间彼此交换“虚声子”）。在满足一定条件下，两个电子之间通过这种电子一晶格相互作用所产生的长程吸引力，可以超过其静电斥力，从而将一对动量相反、自旋反平行的电子结合起来，形成束缚态，这就是库珀电子对，简称为库珀对。库珀对中的两个电子间的平均距离大约为10^-10厘米数量级，称为相干长度ξ，而金属的晶格间距一般为几个埃（1Å=10^-10厘米），故比晶格间距大几千倍。在超导体中直径为ξ的球体内包含若大约10^5以上的库珀对，因此相邻库珀对的质心之间的平均距离，远小于同一库珀对中两个电子之间的平均距离。所以在超导体中有大量的库珀对彼此相互交叉重叠，一直延伸扩展到整块超导体，形成一种“凝聚态”，表现出宏观量子效应。
在普通金属中参与导电的是电子，电子的自旋为1/2。对于自旋为1/2的费米子具有完全相同的量子状态，描述其状态的诸量子数中至少有一个是不同的。电子是费米子，应遵守泡里不相容原理，在普通（非超导）金属中，尽管温度接近于绝对零度，其导带中的电子仍按泡里原理分别处于不同的态，其动量具有一定的统计分布。这种分别具有不同的动量各自作分散运动的电子，很容易受到晶格点阵散射的影响。当有电流流通时，由于这种晶格点阵散射的影响，使得电子的定向有序运动部分地转化为无序的热运动，这就产生了能量损耗，其宏观表现就是金属具有一定的电阻。所以普通（非超导的）金属的电阻虽然随温度下降而减小，但并不会等于零。
处于超导状态的超导体中的情形则完全不同，超导电流的载流子是库珀对，库珀对中的两个电子的自旋互相反平行而抵消。因此库珀对的自旋是0的整数倍，属于玻色子，服从玻色统计。玻色子不遵守泡里不相容原理，许多玻色子可以处于同一状态，形成高度简并态，因而就有可能用同一个波函数来描述所有库珀对的运动状态。实际上，在超导体中所有的库珀对确实都具有相同的波函数，其质心动量全都一样。无超导电流时，所有库珀对的质心动量全为零，当有超导电流流通时，所有库珀对都具有相同的动量。之所以出现这种情况，还可以从另一方面得到解释。前面说过，整个超导体中的所有库珀对不是孤立的，而是彼此重叠交叉形成一个凝聚态。在这种凝聚态中所有组成库珀对的电子都不是自由的，而是被一种长程力所支配，互相约束成为一个整体，其中任何一个电子都不能单独行动，而只能作整体运动。在这种高度组织化的有序状态中，其中的库珀对的动量都具有相同的值，就可以理解了。总之，只要超导体中的库珀对不被拆散，其动量就不受晶格点阵热运动的散射影响而始终保持同一，所以由这些库珀对作为载流子的超导电流就没有能量损耗，宏观上就呈现为零电阻。这样就定性地解释了超导电现象。
在超导状态下，库珀对所具有的能量比正常电子的能量低，两者之间有一个能量间隙2ΔE，这个2ΔE就是库珀对的结合能，也就是拆散一对库对所需的能量。BCS理论估计出在0K时2ΔE~3.5kTc（k是玻尔兹曼常数，Tc是超导体的转变温度）。当T<Tc时，由于在能量上有利于电子结成库珀对，故大部分电子都结合成库珀对（当然不是全部电子都结合成库珀对，总还有一些自由电子，两者以一定的比例处于热平衡），这就是超导状态。随着温度T的增加，库珀对的结合能2ΔE减小。当T>Tc以后，2ΔE=0，能量间隙不复存在，库珀对就全部被拆散了，这时金属就恢复到正常导电状态。这样就定性地解释了在Tc处的电阻的突然变化。
根据量子力学，微观粒子的状态由其波函数描述。在超导体中，由于其中所有的库珀对的质心动量都相同，且由于库珀对在空间至相重叠交叉，遍及整块超导体形成凝聚态，所以整块超导体中所有的库珀对的量子状态，都可以用一个“公共波函数”来描述，可写成：
$$ \Psi = \sqrt{n} e^{i\phi} $$
其中n是库珀对的体密度（单位体积内的库珀对数），φ是库珀对的公共相位。
我们知道在量子力学中，波函数一般是描述微观粒子的微观状态的，但在凝聚态中，上述公共波函数却描述了整个超导体中所有库珀对的宏观状态，所以这是一种“宏观量子态”。与这种宏观量子态有关的一些量子效应，将以宏观的规模直接显示出来，称为“宏观量子效应”。宏观量子效应除了超导电性以外，还有“超流动性”和“磁通量子化”等，都已在实验中观察到。这种宏观量子效应不仅具有重要的理论意义，而且蕴含着巨大的实用潜力。
二、约瑟夫森效应
1962年约瑟夫森（B.D.Josephson）从理论上预言，当两块超导体为一薄的绝缘层所隔开如图7-17所示时，将出现“超导隧道效应”。这个预言，1963年为实验所证实，被称为“约瑟夫森效应”，简称为约氏效应。
约氏效应包括以下三个方面的内容：
- 当跨越结区（这里的绝缘层就是约瑟夫森结）的电压V=0时，有直流超导电流流过结区，这是一种超导隧道效应，称为直流约氏效应。
- 当直流超导电流I超过某一临界值Ic以后，结区出现直流电压同时有交流超导隧道电流流过，其频率由决定于结区电压V，称为约瑟夫森频率，由于$ h $是普朗克常数，$ e $是电子电荷，$ V $是结区电压，因此当V为微伏到毫伏数量级范围内时，相应的频率在微波到亚毫米波段。这就是交流约氏效应，实际上是种微波效应。
- 改变结区附近的磁场，可以控制流过结区的超导隧道电流。
对于微波技术来说，感兴趣的主要是交流约氏效应，它在微波技术中有重要的应用。
下面我们主要讨论有关这方面的问题。
约瑟夫森原来的理论推导是比较复杂的，这里不可能详细介绍。后来费曼（R.P.Feynman）对约氏效应作出了一个简单推导。费曼的推导虽然很简单，但物理概念清楚，而且同样可以得出约氏效应的两个基本方程。对于工程应用而言，费曼的唯象理论已经足够了，下面介绍费曼理论的主要内容。
考虑如图7-17所示的约氏结，如果中间的绝缘层足够厚，两边的两块超导体就被它所隔离，互相独立，可以分别考虑。这时设1、2两块超导体中的库珀对分别处于能量为E1和E2的定态，它们的“公共波函数”和应分别满足如下之定态薛定谔（Schrödinger）方程：
$$ \frac{\hbar}{i} \frac{\partial \psi_1}{\partial t} = E_1 \psi_1 $$
$$ \frac{\hbar}{i} \frac{\partial \psi_2}{\partial t} = E_2 \psi_2 $$
这时由于两块超导体互相隔离，其中的库珀对彼此完全分开，不存在耦合，当然不会有超导电流流过绝缘层。这是一种极端情况。另一种极端情况是，如果不存在绝缘层，则1、2两块超导体合二为一，其中的库珀对的公共波函数相同，ψ1=ψ2。这时将有通常的直流超导电流流过超导体，但并不存在超导隧道效应。
约氏效应是在1、2两块超导体之间存在着弱耦合，即中间的绝缘层足够薄（实验表明绝缘层的厚度约为10～30埃）时才发生的。这种薄的绝缘层对于它两边的超导体中的库珀对而言，相当于一个很窄的势垒。在这种情况下，库珀对可以通过隧道效应穿过势垒，这就在1、2两块超导体之间提供了某种弱耦合。这时式（7-85）的右方应添加相应的耦合项。费曼建议以下列耦合方程组唯象地描述存在耦合时的量子效应：
$$ \frac{\hbar}{i} \frac{\partial \psi_1}{\partial t} = E_1 \psi_1 + \Delta \psi_2 $$
$$ \frac{\hbar}{i} \frac{\partial \psi_2}{\partial t} = E_2 \psi_2 + \Delta \psi_1 $$
这里的耦合系数Δ表征耦合度的一个实参量，决定于结区的情况。根据式（7-82），设1、2两块超导体中库珀对的公共波函数分别为：
$$ \psi_1 = \sqrt{n_1} e^{i\phi_1} $$
$$ \psi_2 = \sqrt{n_2} e^{i\phi_2} $$
代入式（7-86）中，分别取其虚部和实部，不难得到：
$$ \frac{\partial \phi_1}{\partial t} = -\frac{2eV}{\hbar} $$
$$ \frac{\partial \phi_2}{\partial t} = \frac{2eV}{\hbar} $$
实部：
$$ \frac{\partial n_1}{\partial t} = -\frac{2eV}{\hbar} \sin(\phi_1 - \phi_2) $$
$$ \frac{\partial n_2}{\partial t} = \frac{2eV}{\hbar} \sin(\phi_1 - \phi_2) $$
以上a、b两式给出：
$$ \frac{\partial \phi_1}{\partial t} = \frac{\partial \phi_2}{\partial t} $$
这说明库珀对可以穿过势垒，在1、2两块超导体之间迁移，这就是流过结区的超导隧道电流。但是由于外电路是通过电源连通的，所以库珀对并不会因迁移而在结区的一边积聚起来。这种迁移将为外电路的反向迁移所补偿，因此仅使两块超导体中的库珀对密度n1、n2有一个微小的起伏，故近似地有：
$$ n_1 \approx n_2 $$
设结区电压为V，每个库珀对带有电荷-2e，因此库珀对穿过结区时其能量改变E1-E2=-2eV。
综上所述，根据式（7-88a）、（7-88b）两式，可得流过结区的超导隧道电流为：
$$ I = -2e \frac{\partial \phi}{\partial t} \sin(\phi_1 - \phi_2) = I_c \sin(\phi_1 - \phi_2) $$
其中S为结区之截面积，而：
$$ I_c = \frac{2e \Delta \sqrt{n_1 n_2}}{\hbar} $$
0=φ2-φ1。
再利用式（7-89）和式（7-90），从式（7-88c）、（7-88d）可得：
$$ \frac{\partial \phi}{\partial t} = \frac{2eV}{\hbar} $$
将上式代入式（7-91a）中，就得到约氏结电流I与电压V之间的关系为：
$$ I = I_c \sin(\frac{2eV}{\hbar}t + \phi) $$
下面我们利用上述理论来解释观察到的约氏效应。
- 设结区电压V=0，式（7-94）给出：
$$ I = I_c \sin(\phi) $$
这里隐含着结两边的库珀对的动能相等的假设，这一假设是符合实际情况的。I0不随时间而变，I0即为约氏效应（一）的零电压直流超导隧道电流，这就解释了直流约氏效应。
- 设结区电压V=V0，V0与时间无关，这时式（7-94）给出：
$$ I = I_c \sin(\frac{2eV_0}{\hbar}t + \phi) $$
其中：
$$ \frac{2eV_0}{\hbar} = f_J $$
就是前面曾提到的约瑟夫森频率。式（7-96）表明当结上加有直流电压V0时，有交流电流流过结区，这就解释了交流约氏效应。更重要的是式（7-84）表明理论推得的约瑟夫森频率与实验观察到的结果定量相符合。
注意到式（7-84）可以写成：
$$ 2eV_0 = hf_J $$
上式左方是带有-2e电荷的库珀对通过电压为V0的结区时失去的能量，由于是超导态，失去的这部分能量并不是以热辐射的形式释放，而是以频率为f_J的单色相干电磁波的形式放出。上式右方恰好是频率为f_J的一个量子的能量，这里的数字因子2，表明超导电流的载流子确实是带有二倍电子电荷的库珀对。
此外费曼还导出了存在磁场时的有关公式，可以解释约氏效应（三）。
三、弱耦合的具体形式
从以上分析可知，约氏效应的本质在于两块超导体之间存在弱耦合，耦合的强弱可以用流过结区的电流来表征，一般认为Ic在10^-10～10^-9安范围内属于弱耦合，典型值是毫安级。前面介绍过的薄绝缘层只是弱耦合的一种具体形式，此外还有其他各种形式。图7-18中给出了几种常用的弱耦合具体形式的示意图，这些都可以用来产生约氏效应。
- 十字形层状结构：由两条互相垂直的超导带（一般为铌Nb膜）重叠而构成，中间夹有一层氧化薄膜，形成所需的绝缘层。这种结构的特性比较稳定，但由于绝缘层很薄，结电容大，故微波阻抗很低，很难与外电路的传输线相匹配，所以这种结的微波效率不高。
- 超导微桥：是在宽度为毫米级的超导带中收缩成为一个尺寸为微米级的狭区——微桥。微桥为其两侧的超导带提供了弱耦合。这种结构便于与微带相连接。
- 点接触：是一个以化学腐蚀方法弄尖的直径为1微米左右的超导针尖（Nb针），以一定的压力压在另一块超导板上构成点接触。点接触的触点可以是金属直接相连，也可以经过一定的氧化处理。这种结构的特点是结的参量可以通过改变压力加以调整。同时由于是开放式结构，微波阻抗高，容易获得匹配。其缺点是特性不够稳定。
此外还有一些其他类型的结构，这里不再列举。在工艺上如何制造出稳定可靠，重复性好的约氏结，仍是一个尚未完全解决的问题，有待于进一步研究。
约瑟夫森效应器件中的超导体，目前常用的是采用液氮冷却到约3K的铌。