基于超导腔等效电路空间状态方程推导出失谐测量公式

从这个公式:
d2V(t)dt+ω0Qload dV(t)dt+ω02V(t)=ω0RLQload dI(t)dt
转换为状态空间方程为:
ddt(VRe\VImg)=(ω1/2ΔωDeltaωω1/2)(VRe\VImg)+(RLω1/20\0RLω1/2)(IRe\IImg)
,其中 ω1/2=ω02QloadV(t)=(VRe(t)+iVImg(t))eiωtI(t)=(IRe(t)+iIImg(t))eiωtΔω=ω0ω
推导到这个公式:
Δω=12π(dϕprobedt2ω1/2|Ufor||Uprobe|sin(ϕforϕprobe))

开始推导

为了推导出这个公式,我们需要从给定的状态空间方程入手,结合系统的相位变化(相位导数)和频率偏移的关系。

1. 状态空间方程

从给定的状态空间方程:
ddt(VRe\VImg)=(ω1/2ΔωDeltaωω1/2)(VRe\VImg)+(RLω1/20\0RLω1/2)(IRe\IImg)

我们可以将电压向量写为:
V(t)=VRe(t)+iVImg(t)=|V(t)|eiϕ(t)
其中 ϕ(t) 是电压的相位角。

2. 相位导数与频率偏移的关系

相位导数 dϕdt 与频率偏移 Δω 之间的关系可以通过以下公式描述:
Δω=ω0ω=dϕ(t)dt
这是由于相位角 ϕ(t) 的变化率与频率偏移直接相关。

3. 基于状态空间方程的推导

利用给定的状态空间方程,我们可以推导出电压相位 ϕ(t) 的时间变化率。

考虑:
ddt(VRe\VImg)=(ω1/2ΔωDeltaωω1/2)(VRe\VImg)+(RLω1/20\0RLω1/2)(IRe\IImg)

利用相量 V(t)=|V(t)|eiϕ(t)I(t)=|I(t)|eiϕI(t),我们可以将电压的实部和虚部表示为:
VRe=|V(t)|cos(ϕ(t))
VImg=|V(t)|sin(ϕ(t))

那么,电压相位的导数为:
dϕ(t)dt=VRedVImgdtVImgdVRedt|V(t)|2

将状态空间方程代入,并考虑电流对相位的影响,我们可以得到:
dϕ(t)dt=Δω+RLω1/2|V(t)|2(VReIImgVImgIRe)

将此结果带入到相位导数与频率偏移的关系中,即:
Δω=12π(dϕ(t)dt2ω1/2|I(t)||V(t)|sin(ϕIϕ))

进一步,将 |I(t)||Ufor| 表示,|V(t)||Uprobe| 表示,且将 ϕIϕ 替换为 ϕforϕprobe,就得到了最终的公式:
Δω=12π(dϕprobedt2ω1/2|Ufor||Uprobe|sin(ϕforϕprobe))

让我们一步一步详细推导这个公式。

1. 初始微分方程与状态空间表示

给定的微分方程为:
d2V(t)dt2+ω0QloaddV(t)dt+ω02V(t)=ω0RLQloaddI(t)dt
这个方程描述了一个线性电路系统,其中 V(t) 是电压,I(t) 是电流,ω0 是系统的固有频率,Qload 是品质因数,RL 是负载电阻。

2. 引入状态变量

为了将上述二阶微分方程转换为状态空间方程,我们定义两个状态变量:
x1(t)=V(t),x2(t)=dV(t)dt

这样,二阶微分方程可以拆分为两个一阶微分方程:
dx1(t)dt=x2(t)
dx2(t)dt=ω0Qloadx2(t)ω02x1(t)+ω0RLQloaddI(t)dt

3. 状态空间方程表示

将上述微分方程写成矩阵形式:
ddt(x1(t) x2(t))=(01 ω02ω0Qload)(x1(t) x2(t))+(0 ω0RLQload)dI(t)dt

4. 转换到复数域

接下来,我们考虑将 V(t)I(t) 转换到复数域表示。我们引入复数表示:
V(t)=VRe(t)+iVImg(t)
I(t)=IRe(t)+iIImg(t)
并假设电压和电流以以下形式变化:
V(t)=(VRe(t)+iVImg(t))eiωt
I(t)=(IRe(t)+iIImg(t))eiωt

这样,状态空间方程变为:
ddt(VRe VImg)=(ω1/2Δω Δωω1/2)(VRe VImg)+(RLω1/20 0RLω1/2)(IRe IImg)
其中,ω1/2=ω02QloadΔω=ω0ω

5. 相位角与频率偏移的关系

电压的相位可以表示为:
ϕ(t)=tan1(VImg(t)VRe(t))

相位角 ϕ(t) 的导数可以表示为:
dϕ(t)dt=1|V(t)|2(VRe(t)dVImg(t)dtVImg(t)dVRe(t)dt)

由于 dϕ(t)dt 与频率偏移 Δω 之间存在关系,即:
Δω=dϕ(t)dt

6. 引入电流的影响

状态空间方程的第二部分考虑了电流的影响。电流会对相位角产生一个附加项,可以写成:
dϕ(t)dt=Δω+RLω1/2|V(t)|2(VRe(t)IImg(t)VImg(t)IRe(t))

7. 将结果带入频率偏移公式

最终的频率偏移公式可以表示为:
Δω=12π(dϕ(t)dt2ω1/2|I(t)||V(t)|sin(ϕI(t)ϕ(t)))

8. 替换变量

为了得到目标公式,将 |I(t)||Ufor| 表示,|V(t)||Uprobe| 表示,ϕIϕϕforϕprobe 表示:

Δω=12π(dϕprobedt2ω1/2|Ufor||Uprobe|sin(ϕforϕprobe))

这样,我们就得到了推导的最终结果。