基于超导腔等效电路空间状态方程推导出失谐测量公式
从这个公式:
转换为状态空间方程为:
,其中
推导到这个公式:
开始推导
为了推导出这个公式,我们需要从给定的状态空间方程入手,结合系统的相位变化(相位导数)和频率偏移的关系。
1. 状态空间方程
从给定的状态空间方程:
我们可以将电压向量写为:
其中
2. 相位导数与频率偏移的关系
相位导数
这是由于相位角
3. 基于状态空间方程的推导
利用给定的状态空间方程,我们可以推导出电压相位
考虑:
利用相量
那么,电压相位的导数为:
将状态空间方程代入,并考虑电流对相位的影响,我们可以得到:
将此结果带入到相位导数与频率偏移的关系中,即:
进一步,将
让我们一步一步详细推导这个公式。
1. 初始微分方程与状态空间表示
给定的微分方程为:
这个方程描述了一个线性电路系统,其中
2. 引入状态变量
为了将上述二阶微分方程转换为状态空间方程,我们定义两个状态变量:
这样,二阶微分方程可以拆分为两个一阶微分方程:
3. 状态空间方程表示
将上述微分方程写成矩阵形式:
4. 转换到复数域
接下来,我们考虑将
并假设电压和电流以以下形式变化:
这样,状态空间方程变为:
其中,
5. 相位角与频率偏移的关系
电压的相位可以表示为:
相位角
由于
6. 引入电流的影响
状态空间方程的第二部分考虑了电流的影响。电流会对相位角产生一个附加项,可以写成:
7. 将结果带入频率偏移公式
最终的频率偏移公式可以表示为:
8. 替换变量
为了得到目标公式,将
这样,我们就得到了推导的最终结果。