基于超导腔等效电路空间状态方程推导出失谐测量公式

从这个公式：
$$
\frac{d^{2} V(t)}{d t}+\frac{\omega_{0}}{Q_{\text {load }}} \frac{d V(t)}{d t}+\omega_{0}^{2} V(t)=\frac{\omega_{0} R_{L}}{Q_{\text {load }}} \frac{d I(t)}{d t}
$$
转换为状态空间方程为：
$$
\frac{d}{dt}\begin{pmatrix}V_{\mathrm{Re}}\V_{\mathrm{Img}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\omega_{1/2}&-\Delta\omega\\Delta\omega&-\omega_{1/2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}V_{\mathrm{Re}}\V_{\mathrm{Img}}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}R_L\omega_{1/2}&0\0&R_L\omega_{1/2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I_{\mathrm{Re}}\I_{\mathrm{Img}}\end{pmatrix}
$$
，其中$ \omega_{1/2}=\frac{\omega_0}{2Q_{load}} $， $ \vec{V}(t)=\begin{pmatrix}V_{\mathrm{Re}}(t)+iV_{\mathrm{Img}}(t)\end{pmatrix}e^{i\omega t} $， $ \vec{I}(t)=\left(I_{\mathrm{Re}}(t)+iI_{\mathrm{Img}}(t)\right)e^{i\omega t} $，$ \Delta\omega=\omega_0-\omega $
推导到这个公式：
$$
\Delta\omega=-\frac{1}{2\pi}\Bigg(\frac{d\phi_{probe}}{dt}-2\omega_{1/2}\frac{\Bigg|U_{for}\Bigg|}{\Bigg|U_{probe}\Bigg|}\sin\bigl(\phi_{for}-\phi_{probe}\bigr)\Bigg)
$$

开始推导

为了推导出这个公式，我们需要从给定的状态空间方程入手，结合系统的相位变化（相位导数）和频率偏移的关系。

1. 状态空间方程

从给定的状态空间方程：
$$
\frac{d}{dt}\begin{pmatrix}V_{\mathrm{Re}}\V_{\mathrm{Img}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\omega_{1/2}&-\Delta\omega\\Delta\omega&-\omega_{1/2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}V_{\mathrm{Re}}\V_{\mathrm{Img}}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}R_L\omega_{1/2}&0\0&R_L\omega_{1/2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I_{\mathrm{Re}}\I_{\mathrm{Img}}\end{pmatrix}
$$

我们可以将电压向量写为：
$$
\vec{V}(t) = V_{\mathrm{Re}}(t) + iV_{\mathrm{Img}}(t) = |V(t)|e^{i\phi(t)}
$$
其中 $\phi(t)$ 是电压的相位角。

2. 相位导数与频率偏移的关系

相位导数 $\frac{d\phi}{dt}$ 与频率偏移 $\Delta\omega$ 之间的关系可以通过以下公式描述：
$$
\Delta\omega = \omega_0 - \omega = -\frac{d\phi(t)}{dt}
$$
这是由于相位角 $\phi(t)$ 的变化率与频率偏移直接相关。

3. 基于状态空间方程的推导

利用给定的状态空间方程，我们可以推导出电压相位 $\phi(t)$ 的时间变化率。

考虑：
$$
\frac{d}{dt}\begin{pmatrix}V_{\mathrm{Re}}\V_{\mathrm{Img}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\omega_{1/2}&-\Delta\omega\\Delta\omega&-\omega_{1/2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}V_{\mathrm{Re}}\V_{\mathrm{Img}}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}R_L\omega_{1/2}&0\0&R_L\omega_{1/2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}I_{\mathrm{Re}}\I_{\mathrm{Img}}\end{pmatrix}
$$

利用相量 $\vec{V}(t) = |V(t)|e^{i\phi(t)}$ 和 $\vec{I}(t) = |I(t)|e^{i\phi_I(t)}$，我们可以将电压的实部和虚部表示为：
$$
V_{\mathrm{Re}} = |V(t)|\cos(\phi(t))
$$
$$
V_{\mathrm{Img}} = |V(t)|\sin(\phi(t))
$$

那么，电压相位的导数为：
$$
\frac{d\phi(t)}{dt} = \frac{V_{\mathrm{Re}} \frac{dV_{\mathrm{Img}}}{dt} - V_{\mathrm{Img}} \frac{dV_{\mathrm{Re}}}{dt}}{|V(t)|^2}
$$

将状态空间方程代入，并考虑电流对相位的影响，我们可以得到：
$$
\frac{d\phi(t)}{dt} = -\Delta\omega + \frac{R_L\omega_{1/2}}{|V(t)|^2}(V_{\mathrm{Re}}I_{\mathrm{Img}} - V_{\mathrm{Img}}I_{\mathrm{Re}})
$$

将此结果带入到相位导数与频率偏移的关系中，即：
$$
\Delta\omega = -\frac{1}{2\pi}\Bigg(\frac{d\phi(t)}{dt} - 2\omega_{1/2}\frac{|I(t)|}{|V(t)|}\sin(\phi_I - \phi)\Bigg)
$$

进一步，将 $|I(t)|$ 用 $|U_{for}|$ 表示，$|V(t)|$ 用 $|U_{probe}|$ 表示，且将 $\phi_I - \phi$ 替换为 $\phi_{for} - \phi_{probe}$，就得到了最终的公式：
$$
\Delta\omega = -\frac{1}{2\pi}\Bigg(\frac{d\phi_{probe}}{dt} - 2\omega_{1/2}\frac{|U_{for}|}{|U_{probe}|}\sin(\phi_{for} - \phi_{probe})\Bigg)
$$

让我们一步一步详细推导这个公式。

1. 初始微分方程与状态空间表示

给定的微分方程为：
$$
\frac{d^{2} V(t)}{d t^{2}} + \frac{\omega_{0}}{Q_{\text{load}}} \frac{d V(t)}{d t} + \omega_{0}^{2} V(t) = \frac{\omega_{0} R_{L}}{Q_{\text{load}}} \frac{d I(t)}{d t}
$$
这个方程描述了一个线性电路系统，其中 $V(t)$ 是电压，$I(t)$ 是电流，$\omega_0$ 是系统的固有频率，$Q_{\text{load}}$ 是品质因数，$R_L$ 是负载电阻。

2. 引入状态变量

为了将上述二阶微分方程转换为状态空间方程，我们定义两个状态变量：
$$
x_1(t) = V(t), \quad x_2(t) = \frac{dV(t)}{dt}
$$

这样，二阶微分方程可以拆分为两个一阶微分方程：
$$
\frac{dx_1(t)}{dt} = x_2(t)
$$
$$
\frac{dx_2(t)}{dt} = -\frac{\omega_{0}}{Q_{\text{load}}} x_2(t) - \omega_{0}^{2} x_1(t) + \frac{\omega_{0} R_{L}}{Q_{\text{load}}} \frac{d I(t)}{d t}
$$

3. 状态空间方程表示

将上述微分方程写成矩阵形式：
$$
\frac{d}{dt} \begin{pmatrix} x_1(t) \ x_2(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ -\omega_0^2 & -\frac{\omega_0}{Q_{\text{load}}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1(t) \ x_2(t) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \ \frac{\omega_0 R_L}{Q_{\text{load}}} \end{pmatrix} \frac{d I(t)}{dt}
$$

4. 转换到复数域

接下来，我们考虑将 $V(t)$ 和 $I(t)$ 转换到复数域表示。我们引入复数表示：
$$
\vec{V}(t) = V_{\mathrm{Re}}(t) + iV_{\mathrm{Img}}(t)
$$
$$
\vec{I}(t) = I_{\mathrm{Re}}(t) + iI_{\mathrm{Img}}(t)
$$
并假设电压和电流以以下形式变化：
$$
\vec{V}(t) = \left(V_{\mathrm{Re}}(t) + iV_{\mathrm{Img}}(t)\right) e^{i\omega t}
$$
$$
\vec{I}(t) = \left(I_{\mathrm{Re}}(t) + iI_{\mathrm{Img}}(t)\right) e^{i\omega t}
$$

这样，状态空间方程变为：
$$
\frac{d}{dt}\begin{pmatrix}V_{\mathrm{Re}} \ V_{\mathrm{Img}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\omega_{1/2} & -\Delta\omega \ \Delta\omega & -\omega_{1/2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}V_{\mathrm{Re}} \ V_{\mathrm{Img}}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}R_L \omega_{1/2} & 0 \ 0 & R_L \omega_{1/2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}I_{\mathrm{Re}} \ I_{\mathrm{Img}}\end{pmatrix}
$$
其中，$\omega_{1/2} = \frac{\omega_0}{2Q_{\text{load}}}$，$\Delta\omega = \omega_0 - \omega$。

5. 相位角与频率偏移的关系

电压的相位可以表示为：
$$
\phi(t) = \tan^{-1}\left(\frac{V_{\mathrm{Img}}(t)}{V_{\mathrm{Re}}(t)}\right)
$$

相位角 $\phi(t)$ 的导数可以表示为：
$$
\frac{d\phi(t)}{dt} = \frac{1}{|V(t)|^2}\left(V_{\mathrm{Re}}(t)\frac{dV_{\mathrm{Img}}(t)}{dt} - V_{\mathrm{Img}}(t)\frac{dV_{\mathrm{Re}}(t)}{dt}\right)
$$

由于 $\frac{d\phi(t)}{dt}$ 与频率偏移 $\Delta\omega$ 之间存在关系，即：
$$
\Delta\omega = -\frac{d\phi(t)}{dt}
$$

6. 引入电流的影响

状态空间方程的第二部分考虑了电流的影响。电流会对相位角产生一个附加项，可以写成：
$$
\frac{d\phi(t)}{dt} = -\Delta\omega + \frac{R_L \omega_{1/2}}{|V(t)|^2}\left(V_{\mathrm{Re}}(t)I_{\mathrm{Img}}(t) - V_{\mathrm{Img}}(t)I_{\mathrm{Re}}(t)\right)
$$

7. 将结果带入频率偏移公式

最终的频率偏移公式可以表示为：
$$
\Delta\omega = -\frac{1}{2\pi}\left(\frac{d\phi(t)}{dt} - 2\omega_{1/2}\frac{|I(t)|}{|V(t)|}\sin(\phi_I(t) - \phi(t))\right)
$$

8. 替换变量

为了得到目标公式，将 $|I(t)|$ 用 $|U_{for}|$ 表示，$|V(t)|$ 用 $|U_{probe}|$ 表示，$\phi_I - \phi$ 用 $\phi_{for} - \phi_{probe}$ 表示：

$$
\Delta\omega = -\frac{1}{2\pi}\left(\frac{d\phi_{probe}}{dt} - 2\omega_{1/2}\frac{|U_{for}|}{|U_{probe}|}\sin(\phi_{for} - \phi_{probe})\right)
$$

这样，我们就得到了推导的最终结果。