基于超导腔等效电路空间状态方程推导出失谐测量公式

从这个公式：
$$\frac{d^{2}V(t)}{dt}+\frac{{\omega }_0}{Q_{\text{load }}}\frac{dV(t)}{dt}+{\omega }_0^{2}V(t)=\frac{{\omega }_0{R}_L}{Q_{\text{load }}}\frac{dI(t)}{dt}$$
转换为状态空间方程为：
$$\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{c}{V}_{\mathrm{Re}}{\text{V}}_{\mathrm{Img}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-{\omega }_{1/2}& -\mathrm{\Delta }\omega \\ Delta\omega & -{\omega }_{1/2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{V}_{\mathrm{Re}}{\text{V}}_{\mathrm{Img}}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}{R}_L{\omega }_{1/2}& 0\text{0}& R_L{\omega }_{1/2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{I}_{\mathrm{Re}}{\text{I}}_{\mathrm{Img}}\end{array}\right)$$
，其中 ${\omega }_{1/2}=\frac{{\omega }_0}{2Q_{load}}$， $\overrightarrow{V}(t)=\left(\begin{array}{c}{V}_{\mathrm{Re}}(t)+i{V}_{\mathrm{Img}}(t)\end{array}\right)e^{i\omega t}$， $\overrightarrow{I}(t)=(I_{\mathrm{Re}}(t)+i{I}_{\mathrm{Img}}(t))e^{i\omega t}$，$\mathrm{\Delta }\omega ={\omega }_0-\omega$
推导到这个公式：
$$\mathrm{\Delta }\omega =-\frac{1}{2\pi }(\frac{d{\varphi }_{probe}}{dt}-2{\omega }_{1/2}\frac{|U_{for}|}{|U_{probe}|}\sin ({\varphi }_{for}-{\varphi }_{probe}))$$

开始推导

为了推导出这个公式，我们需要从给定的状态空间方程入手，结合系统的相位变化（相位导数）和频率偏移的关系。

1. 状态空间方程

从给定的状态空间方程：
$$\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{c}{V}_{\mathrm{Re}}{\text{V}}_{\mathrm{Img}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-{\omega }_{1/2}& -\mathrm{\Delta }\omega \\ Delta\omega & -{\omega }_{1/2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{V}_{\mathrm{Re}}{\text{V}}_{\mathrm{Img}}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}{R}_L{\omega }_{1/2}& 0\text{0}& R_L{\omega }_{1/2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{I}_{\mathrm{Re}}{\text{I}}_{\mathrm{Img}}\end{array}\right)$$

我们可以将电压向量写为：
$$\overrightarrow{V}(t)=V_{\mathrm{Re}}(t)+i{V}_{\mathrm{Img}}(t)=|V(t)|e^{i\varphi (t)}$$
其中 $\varphi (t)$ 是电压的相位角。

2. 相位导数与频率偏移的关系

相位导数 $\frac{d\varphi }{dt}$ 与频率偏移 $\mathrm{\Delta }\omega$ 之间的关系可以通过以下公式描述：
$$\mathrm{\Delta }\omega ={\omega }_0-\omega =-\frac{d\varphi (t)}{dt}$$
这是由于相位角 $\varphi (t)$ 的变化率与频率偏移直接相关。

3. 基于状态空间方程的推导

利用给定的状态空间方程，我们可以推导出电压相位 $\varphi (t)$ 的时间变化率。

考虑：
$$\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{c}{V}_{\mathrm{Re}}{\text{V}}_{\mathrm{Img}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-{\omega }_{1/2}& -\mathrm{\Delta }\omega \\ Delta\omega & -{\omega }_{1/2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{V}_{\mathrm{Re}}{\text{V}}_{\mathrm{Img}}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}{R}_L{\omega }_{1/2}& 0\text{0}& R_L{\omega }_{1/2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{I}_{\mathrm{Re}}{\text{I}}_{\mathrm{Img}}\end{array}\right)$$

利用相量 $\overrightarrow{V}(t)=|V(t)|e^{i\varphi (t)}$ 和 $\overrightarrow{I}(t)=|I(t)|e^{i{\varphi }_I(t)}$，我们可以将电压的实部和虚部表示为：
$$V_{\mathrm{Re}}=|V(t)|\cos (\varphi (t))$$
$$V_{\mathrm{Img}}=|V(t)|\sin (\varphi (t))$$

那么，电压相位的导数为：
$$\frac{d\varphi (t)}{dt}=\frac{V_{\mathrm{Re}}\frac{d{V}_{\mathrm{Img}}}{dt}-V_{\mathrm{Img}}\frac{d{V}_{\mathrm{Re}}}{dt}}{|V(t){|}^2}$$

将状态空间方程代入，并考虑电流对相位的影响，我们可以得到：
$$\frac{d\varphi (t)}{dt}=-\mathrm{\Delta }\omega +\frac{R_L{\omega }_{1/2}}{|V(t){|}^2}(V_{\mathrm{Re}}{I}_{\mathrm{Img}}-V_{\mathrm{Img}}{I}_{\mathrm{Re}})$$

将此结果带入到相位导数与频率偏移的关系中，即：
$$\mathrm{\Delta }\omega =-\frac{1}{2\pi }(\frac{d\varphi (t)}{dt}-2{\omega }_{1/2}\frac{|I(t)|}{|V(t)|}\sin ({\varphi }_I-\varphi ))$$

进一步，将 $|I(t)|$ 用 $|U_{for}|$ 表示，$|V(t)|$ 用 $|U_{probe}|$ 表示，且将 ${\varphi }_I-\varphi$ 替换为 ${\varphi }_{for}-{\varphi }_{probe}$，就得到了最终的公式：
$$\mathrm{\Delta }\omega =-\frac{1}{2\pi }(\frac{d{\varphi }_{probe}}{dt}-2{\omega }_{1/2}\frac{|U_{for}|}{|U_{probe}|}\sin ({\varphi }_{for}-{\varphi }_{probe}))$$

让我们一步一步详细推导这个公式。

1. 初始微分方程与状态空间表示

给定的微分方程为：
$$\frac{d^{2}V(t)}{d{t}^2}+\frac{{\omega }_0}{Q_{\text{load}}}\frac{dV(t)}{dt}+{\omega }_0^{2}V(t)=\frac{{\omega }_0{R}_L}{Q_{\text{load}}}\frac{dI(t)}{dt}$$
这个方程描述了一个线性电路系统，其中 $V(t)$ 是电压，$I(t)$ 是电流，${\omega }_0$ 是系统的固有频率，$Q_{\text{load}}$ 是品质因数，$R_L$ 是负载电阻。

2. 引入状态变量

为了将上述二阶微分方程转换为状态空间方程，我们定义两个状态变量：
$$x_1(t)=V(t),x_2(t)=\frac{dV(t)}{dt}$$

这样，二阶微分方程可以拆分为两个一阶微分方程：
$$\frac{d{x}_1(t)}{dt}=x_2(t)$$
$$\frac{d{x}_2(t)}{dt}=-\frac{{\omega }_0}{Q_{\text{load}}}{x}_2(t)-{\omega }_0^2{x}_1(t)+\frac{{\omega }_0{R}_L}{Q_{\text{load}}}\frac{dI(t)}{dt}$$

3. 状态空间方程表示

将上述微分方程写成矩阵形式：
$$\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)x_2(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 1-{\omega }_0^2& -\frac{{\omega }_0}{Q_{\text{load}}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)x_2(t)\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\frac{{\omega }_0{R}_L}{Q_{\text{load}}}\end{array}\right)\frac{dI(t)}{dt}$$

4. 转换到复数域

接下来，我们考虑将 $V(t)$ 和 $I(t)$ 转换到复数域表示。我们引入复数表示：
$$\overrightarrow{V}(t)=V_{\mathrm{Re}}(t)+i{V}_{\mathrm{Img}}(t)$$
$$\overrightarrow{I}(t)=I_{\mathrm{Re}}(t)+i{I}_{\mathrm{Img}}(t)$$
并假设电压和电流以以下形式变化：
$$\overrightarrow{V}(t)=(V_{\mathrm{Re}}(t)+i{V}_{\mathrm{Img}}(t))e^{i\omega t}$$
$$\overrightarrow{I}(t)=(I_{\mathrm{Re}}(t)+i{I}_{\mathrm{Img}}(t))e^{i\omega t}$$

这样，状态空间方程变为：
$$\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{c}{V}_{\mathrm{Re}}{V}_{\mathrm{Img}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-{\omega }_{1/2}& -\mathrm{\Delta }\omega \mathrm{\Delta }\omega & -{\omega }_{1/2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{V}_{\mathrm{Re}}{V}_{\mathrm{Img}}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}{R}_L{\omega }_{1/2}& 00& R_L{\omega }_{1/2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{I}_{\mathrm{Re}}{I}_{\mathrm{Img}}\end{array}\right)$$
其中，${\omega }_{1/2}=\frac{{\omega }_0}{2Q_{\text{load}}}$，$\mathrm{\Delta }\omega ={\omega }_0-\omega$。

5. 相位角与频率偏移的关系

电压的相位可以表示为：
$$\varphi (t)={\tan }^{-1}\left(\frac{V_{\mathrm{Img}}(t)}{V_{\mathrm{Re}}(t)}\right)$$

相位角 $\varphi (t)$ 的导数可以表示为：
$$\frac{d\varphi (t)}{dt}=\frac{1}{|V(t){|}^2}(V_{\mathrm{Re}}(t)\frac{d{V}_{\mathrm{Img}}(t)}{dt}-V_{\mathrm{Img}}(t)\frac{d{V}_{\mathrm{Re}}(t)}{dt})$$

由于 $\frac{d\varphi (t)}{dt}$ 与频率偏移 $\mathrm{\Delta }\omega$ 之间存在关系，即：
$$\mathrm{\Delta }\omega =-\frac{d\varphi (t)}{dt}$$

6. 引入电流的影响

状态空间方程的第二部分考虑了电流的影响。电流会对相位角产生一个附加项，可以写成：
$$\frac{d\varphi (t)}{dt}=-\mathrm{\Delta }\omega +\frac{R_L{\omega }_{1/2}}{|V(t){|}^2}(V_{\mathrm{Re}}(t)I_{\mathrm{Img}}(t)-V_{\mathrm{Img}}(t)I_{\mathrm{Re}}(t))$$

7. 将结果带入频率偏移公式

最终的频率偏移公式可以表示为：
$$\mathrm{\Delta }\omega =-\frac{1}{2\pi }(\frac{d\varphi (t)}{dt}-2{\omega }_{1/2}\frac{|I(t)|}{|V(t)|}\sin ({\varphi }_I(t)-\varphi (t)))$$

8. 替换变量

为了得到目标公式，将 $|I(t)|$ 用 $|U_{for}|$ 表示，$|V(t)|$ 用 $|U_{probe}|$ 表示，${\varphi }_I-\varphi$ 用 ${\varphi }_{for}-{\varphi }_{probe}$ 表示：

$$\mathrm{\Delta }\omega =-\frac{1}{2\pi }(\frac{d{\varphi }_{probe}}{dt}-2{\omega }_{1/2}\frac{|U_{for}|}{|U_{probe}|}\sin ({\varphi }_{for}-{\varphi }_{probe}))$$

这样，我们就得到了推导的最终结果。