Iterative Learning Control for RF system
基于迭代学习控制方法对射频系统的控制
引言
迭代学习控制（ILC）是一种用于改善重复性任务性能的控制策略，特别适用于存在模型不确定性或复杂动态的系统。在射频（RF）系统中，ILC可以显著提高脉冲形状和系统响应的精确度。
迭代学习控制算法
基本原理
如果存在射频系统的线性模型，则可以使用基于模型的迭代学习控制算法来实现给定的控制目标。算法的基本公式如下：
$$ u(n + 1) = u(n) + Le(n) \qquad n = 0, 1, 2, \ldots $$
$$ e(n) = r - y(n) $$
其中，$ L $ 是一个 $ K \times K $ 的常数矩阵，由系统模型导出，用于根据前一脉冲的错误生成前馈信号的校正。$ u(n) $, $ y(n) $, 和 $ e(n) $ 是具有 $ K $ 个样本的波形，定义如下：
$$ u(n) := \begin{bmatrix} u(n, 0) \ u(n, 1) \ \vdots \ u(n, K - 1) \end{bmatrix}, $$
$$ y(n) := \begin{bmatrix} y(n, 0) \ y(n, 1) \ \vdots \ y(n, K - 1) \end{bmatrix}^T, $$
$$ e(n) := \begin{bmatrix} e(n, 0) \ e(n, 1) \ \vdots \ e(n, K - 1) \end{bmatrix}, $$
$$ r := \begin{bmatrix} r(0) \ r(1) \ \vdots \ r(K - 1) \end{bmatrix} $$
不同的ILC算法实现
最简单的ILC实现使用对角矩阵，相当于独立地对射频脉冲的每个点应用脉冲到脉冲的积分反馈。这种算法在射频系统的时常与射频测量采样周期相比很小的情况下效果很好。例如，它已成功用于展平速调管的输出脉冲。
基于脉冲响应的ILC算法
对于响应较慢的射频系统，如窄带腔体，$ L $ 的实现应考虑射频系统的动态特性。这里将介绍一种基于射频系统脉冲响应的算法。
射频系统的FIR模型
对于具有有限脉冲宽度的离散线性系统，其第 $ n $ 个脉冲的输出和输入通过系统的脉冲响应相连：
$$ y(n, k) = \sum_{m=0}^{M-1} h(m)u(n, k - m), \quad k = 0, 1, 2, \ldots, K - 1 $$
其中，$ u $ 和 $ y $ 分别是输入和输出，$ h $ 是射频系统的脉冲响应的有限长度序列。$ h $ 由复数组成，因为 $ u $ 和 $ y $ 都是相量。序列 $ h $ 包含 $ M $ 个点，且 $ M \leq K $。
脉冲响应的识别与应用
脉冲响应可以通过经验方法识别，例如使用输入和输出测量数据的最小二乘拟合。此外，还可以从腔体模型导出脉冲响应。
ILC算法的实现
成本函数的最小化
给定第 $ n $ 个脉冲的驱动向量 $ u(n) $ 和输出 $ y(n) $，我们需要确定一个新的驱动向量 $ u(n + 1) $，以最小化第 $ n + 1 $ 个脉冲的输出误差，并避免驱动信号的过大变化。问题可以形式化为最小化以下成本函数：
$$ J = e(n + 1)^T Pe(n + 1) + \Delta u(n + 1)^T Q \Delta u(n + 1) $$
其中，$ e(n+1) $ 是第 $ n + 1 $ 个脉冲的误差向量，定义为：
$$ e(n+1) = r - y(n+1) \approx r - y(n) - G \Delta u(n+1) $$
$ \Delta u(n+1) $ 是驱动信号的变化，定义为：
$$ \Delta u(n+1) = u(n + 1) - u(n) $$
ILC更新法则
通过最小化成本函数 $ J $，我们可以得到ILC更新法则：
$$ u(n + 1) = u(n) + (Q + G^{H}PG)^{-1}G^{H}Pe(n) $$
相应的更新矩阵 $ L $ 为：
$$ L = (Q + G^{H}PG)^{-1}G^{H}P $$
实施ILC算法的注意事项
在实际应用ILC算法时，需要注意以下几点：
- 射频系统输出和输入之间的群延迟。
- 腔体输入 $ u $ 与射频控制器输出之间的增益和相位偏移。
- 为了避免不稳定，可能只应用前馈校正信号的一部分。
结论
迭代学习控制（ILC）为射频系统提供了一种有效的控制策略，通过不断迭代优化，可以显著提高系统的控制精度和稳定性。以下是实施ILC算法的步骤：
脉冲响应识别：首先识别射频系统的脉冲响应 $ h $。这可以通过经验方法，如最小二乘拟合输入和输出测量数据来完成。
设定期望输出：确定射频系统输出的设定点波形 $ r $。
系统传递矩阵确定：根据脉冲响应 $ h $ 和脉冲中的样本数量，确定系统的传递矩阵 $ G $。
权重矩阵确定与L计算：确定权重矩阵 $ P $ 和 $ Q $ 并计算更新矩阵 $ L $。权重矩阵通常通过实验确定，并可以根据需要调整以改变对输出误差和输入变化的惩罚。
应用ILC更新法则：使用ILC更新法则 $ u(n + 1) = u(n) + (Q + G^{H}PG)^{-1}G^{H}Pe(n) $ 来调整射频系统的前馈信号。如果性能不令人满意，调整 $ P $ 和 $ Q $ 并从步骤4开始重复。
考虑群延迟：处理射频系统输出和输入之间的群延迟，确保前馈校正信号在应用到前馈信号之前进行适当的时间偏移。
增益和相位调整：调整前馈校正信号的增益和相位，以匹配射频控制器的输入平面。
部分校正应用：为了避免不稳定，可能只应用前馈校正信号的一部分，通过在ILC法则中乘以小于1的增益来实现。
通过遵循这些步骤，可以确保ILC算法的有效性和稳定性，从而在射频系统中实现精确的控制。
迭代学习控制为射频系统提供了一种有效的控制策略，通过不断迭代优化，可以显著提高系统的控制精度和稳定性。通过调整权重矩阵 $ P $ 和 $ Q $，可以平衡输出误差和输入变化，以达到最佳的控制效果。