LLRFLibsPy库中cav_ss函数解读

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cav_ss函数功能：根据超导腔半带宽和失谐量求解超导腔空间状态方程参数

cav_ss 函数解读

cav_ss 函数用于导出腔体的连续状态空间方程，包含通过状态空间方法计算射频（RF）驱动和束流驱动的响应。以下是对该函数的详细解读。

超导腔模型

  1. 驱动电压定义：定义了束流驱动电压$ V_{bo} $与束流$ i_{bo} $的关系，其中$ V_{bo} = R_{z}i_{bo} $。

  2. 输入-输出关系：描述了输入电流 $ i_{for} $ 与射频驱动电压 $ V_{for} $ 之间的关系，公式为 $ i_{for} = \frac{\beta}{\beta + 1} - \frac{V_{for}}{R_{L}} $。

  3. 腔体微分方程：在忽略某些小项的情况下，腔体的微分方程可以表示为:
    $$
    \dot{\mathbf{v}}{C}+\left(\omega{1 / 2}-j \Delta \omega\right) \mathbf{v}{C}=2 \omega{1 / 2} R_{L}\left(\mathbf{i}{\text {for }}+\mathbf{i}{b 0}\right)
    $$

  4. 超导腔体特性：对于超导腔体，输入耦合因子 $ \beta $ 远大于1，因为腔体壁的射频功率耗散远小于腔体发出的射频功率。例如，TESLA腔体的 $ \beta $ 大于3000，这允许简化上述方程。

  5. 增益和反射因子：定义了复数增益 $ g_{c} $ 作为稳态腔体电压 $ V_{c} $ 与射频驱动电压 $ V_{for} $ 之间的关系，以及复数反射因子 $ Y_{c} $ 作为腔体对射频功率传输线的反射特性。

  6. 复平面上的表示：$ g_{c} $ 和 $ Y_{c} $ 在复平面上以圆的形式表示，这些圆随着 $ \beta $ 和失谐量 $ \Delta $ 的变化而变化。当失谐量 $ \Delta $ 趋向无穷大时，所有正向射频功率都会从腔体输入耦合器反射回来，并且反射信号的相位与正向信号的相位相差180°。
    不同耦合因子和失谐的复增益gc

函数定义

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def cav_ss(half_bw, detuning = 0.0, beta = 1e4, passband_modes = None, plot = False, plot_pno = 1000):

  • 参数说明:

    • half_bw: 腔体的半带宽（单位：弧度/秒）。
    • detuning: 腔体的失谐（单位：弧度/秒）。
    • beta: 输入耦合因子。
    • passband_modes: 字典，包含通过带模式的参数（频率偏移、相对增益和半带宽）。
    • plot: 布尔值，是否绘制频率响应图。
    • plot_pno: 绘图点数。

  • 返回值:

    • status: 布尔值，表示计算是否成功。
    • Arf, Brf, Crf, Drf: RF驱动的连续状态空间模型矩阵。
    • Abm, Bbm, Cbm, Dbm: 束流驱动的连续状态空间模型矩阵。

函数逻辑

  1. 参数检查:
    检查 half_bw 和 beta 是否为正值，passband_modes 是否为包含正确键值的字典。

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    if (half_bw <= 0) or (beta <= 0):
        return (False,) + (None,)*8

    if passband_modes is not None:
        if (not isinstance(passband_modes, dict)) or \
           ('freq_offs' not in passband_modes.keys()) or \
           ('gain_rel' not in passband_modes.keys()) or \
           ('half_bw' not in passband_modes.keys()): 
            return (False,) + (None,)*8

  2. 定义基本模式参数:
    计算基本模式的增益和传递函数系数。

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    b0 = 2 * beta * half_bw / (beta + 1)
    b1 = 2 * half_bw

    rf_num = [b0]
    rf_den = [1, half_bw - 1j*detuning]
    bm_num = [b1]
    bm_den = [1, half_bw - 1j*detuning]

  3. 处理通过带模式:

通带的空间状态方程：
$$
\lambda_{k}=-\omega_{1 / 2, k}+j \Delta \omega_{k}, k=1, \ldots, N
$$
本征值的实部表示相应通带模式的半带宽，而虚部表示其与载波频率$ \omega_{c} $相比的频率偏移。对于特定的多胞腔，我们可以公式化矩阵$ A $，并用数值方法计算其特征值和特征向量。

我们使用从中导出的相量传递函数来计算多单元腔的频率响应：
$$
\mathbf{X}(\hat{s})=\left(\hat{s} \mathbf{I}_{N}-\mathbf{A}\right)^{-1} \mathbf{B U}(\hat{s})
$$
其中$X$和$U$分别是时域相量矢量$x$和$u$的相量拉普拉斯变换。

多cell腔的相量传递函数具有多个极点，每个极点对应于通带模式。从单细胞腔的相量传递函数，包括所有通带模式的多单元腔的相量传递函数可以写成：
$$
\mathbf{G}{C,multi-cell(\hat{s})} = \sum{k=1}^{N} \frac{\omega_{1/2} \mathbf{G}{k}}{\hat{s}+\omega{1/2}-j \Delta\omega_{k}}
$$

如果存在通过带模式，将其参数添加到传递函数中。

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if passband_modes is not None:
    pb_f  = passband_modes['freq_offs']
    pb_g  = passband_modes['gain_rel']
    pb_wh = passband_modes['half_bw']

    for i in range(len(pb_f)):
        rf_num, rf_den = add_tf(rf_num, rf_den, 
                                [b0 * pb_g[i] * pb_wh[i] / half_bw], 
                                [1, pb_wh[i] - 1j*2*np.pi*pb_f[i]])

add_tf 函数解释

add_tf 函数用于将两个传递函数相加。这通常用于将多个模式的传递函数合并成一个总的传递函数。

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def add_tf(num1, den1, num2, den2):
    '''
    Add two transfer functions
    Parameters:
        num1, den1: numerator and denominator of the first transfer function
        num2, den2: numerator and denominator of the second transfer function
    Returns:
        num, den: numerator and denominator of the resulting transfer function
    '''
    # 将两个传递函数的分子和分母进行卷积以实现相加
    num = np.polyadd(np.polymul(num1, den2), np.polymul(num2, den1))
    den = np.polymul(den1, den2)
    return num, den

add_tf 函数的工作原理

  • 参数：

    • num1, den1: 第一个传递函数的分子和分母多项式系数。
    • num2, den2: 第二个传递函数的分子和分母多项式系数。

  • 返回值：

    • num, den: 合并后的传递函数的分子和分母多项式系数。

  • 实现：

    • 使用多项式的卷积（np.polymul）计算合并后的分子和分母。
    • 使用多项式的相加（np.polyadd）将两个传递函数相加。

  1. 获得状态空间模型:
    使用传递函数系数计算状态空间模型矩阵。

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    Arf, Brf, Crf, Drf = signal.tf2ss(rf_num, rf_den)
    Abm, Bbm, Cbm, Dbm = signal.tf2ss(bm_num, bm_den)

tf2ss 函数解释

tf2ss 函数用于将传递函数（传递函数的分子和分母多项式表示）转换为状态空间表示。

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from scipy import signal

def tf2ss(num, den):
    '''
    Transfer function to state-space conversion
    Parameters:
        num: numerator of the transfer function
        den: denominator of the transfer function
    Returns:
        A, B, C, D: state-space representation matrices
    '''
    return signal.tf2ss(num, den)

tf2ss 函数的工作原理

  • 参数：

    • num: 传递函数的分子多项式系数。
    • den: 传递函数的分母多项式系数。

  • 返回值：

    • A, B, C, D: 状态空间表示的矩阵。

  • 实现：

    • 使用 scipy.signal.tf2ss 函数，将传递函数的多项式系数转换为状态空间表示矩阵。

  1. 绘制频率响应图:
    如果 plot 为 True，计算并绘制频率响应图。

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    if plot:
        max_wrange = ...
        wrf, hrf = signal.freqs(rf_num, rf_den, worN = np.linspace(-2*max_wrange, 2*max_wrange, plot_pno))
        wbm, hbm = signal.freqs(bm_num, bm_den, worN = np.linspace(-2*max_wrange, 2*max_wrange, plot_pno))
        from rf_plot import plot_cav_ss
        plot_cav_ss(wrf, hrf, wbm, hbm)

  2. 返回结果:
    返回状态空间模型矩阵和成功状态。

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    return True, Arf, Brf, Crf, Drf, Abm, Bbm, Cbm, Dbm

总结

cav_ss 函数通过状态空间方法计算腔体的动态响应，包括基本模式和通过带模式的影响，并可以选择性地绘制频率响应图。通过传递函数转换为状态空间模型，函数返回用于进一步分析和仿真的状态空间矩阵。