原子核的基本性质（四）
原子核的磁矩
电子的磁矩
电子的磁矩由轨道磁矩和自旋磁矩构成：
$$\hat{\vec \mu}=\hat{\vec \mu_l}+\hat{\vec \mu_s}$$
其中，轨道磁矩和自旋磁矩的表达式为：
$$\hat{\vec \mu_l}=-\frac{e}{2m_e}\hat{\vec l}=g_l(\frac{e}{2m_e})\hat{\vec l}$$
$$\hat{\vec \mu_S}=-\frac{e}{2m_e}\hat{\vec S}=g_S(\frac{e}{2m_e})\hat{\vec S}$$
上式中，$g_l＝-1$，$g_S＝-2$，称为电子的$g$因数。
如果记：
$$\mu_B=\frac{e\hbar}{2m_e}=9.2740*10^{-24}A\cdot m^2$$
并且$\hat{\vec l}$和$\hat{\vec S}$均以$\hbar$为单位，那么有：
$$\hat{\vec \mu_l}=g_l\mu_B\hat{\vec l}$$
$$\hat{\vec \mu_S}=g_S\mu_B\hat{\vec S}$$
从而电子的磁矩可以写为：
$$\hat{\vec \mu}=g_l\mu_l\hat{\vec l}+g_S\mu_B\hat{\vec S}$$
核子的磁矩
对于核子，将其和电子对应，也应当具有各自的磁矩。参照电子自旋磁矩的形式，可得：
$$\hat{\vec \mu_p}=g_p(\frac{e}{2m_p})\hat{\vec P_S}$$
$$\hat{\vec \mu_n}=g_n(\frac{e}{2m_n})\hat{\vec P_S}$$
其中，$g_p$和$g_n$分别称为质子和中子的$g$因子。
将$g_p$和$g_n$的值与电子的自旋磁矩对比：
- 质子电量为$+e$，可猜测$g_p＝+2$；
- 中子不带电，可猜测$g_n＝0$。
但根据实验测量结果却为：
$$g_p＝+5.586$$
$$g_n＝-3.826$$
这种现象称为质子和中子具有反常磁矩。
原子核的磁矩
对于原子核，其由于自旋所具有的磁矩也可以按照前面的方法进行类比：
$$\hat{\vec \mu_I}=g_I(\frac{e}{2m_N})\hat{\vec P_I}$$
其中$g_I$称为原子核的$g$因数，对于不同的原子核，其值是不同的，既可能为正，也可能为负。
如果上式中$\hat{\vec P_I}$以$\hbar$为单位，上式可写为：
$$\hat{\vec \mu_I}=g_I(\frac{e\hbar}{2m_p})\hat{\vec P_I}=g_I\mu_N\hat{\vec P_I}$$
上式中$μ_N$称为核磁子，其表达式为：
$$\mu_N=\frac{e\hbar}{2m_p}=5.0508 \times 10^{-27}A \cdot m^2$$
原子核磁矩的测量
在磁场中的附加能量
对于具有磁矩的系统，当其处于磁场时，将和磁场发生相互作用，从而具有一定的附加能量：
$$E=-\vec \mu \cdot \vec B$$
对于原子核则有：
$$E=-g_I\mu_N(\vec P \cdot \vec B)$$
如果$\hat{\vec P}$的量子数为$I$，那么其在空间给定方向上的投影$\hat{\vec P_{Iz}}$的量子数$m_I$可以取$2I＋1$个值：
$$m_I=-I,-I+1,\dots,I-1,I$$
原子核在磁场中的附加能量可写为：
$$E=-g_I \cdot \mu_N \cdot m_I \cdot B$$
由于原子核自旋的方向不同，其在磁场中将具有不同的附加能量。原来的一个能级将分裂为$2I＋1$个能级。
选择定则
当原子核的一个能级分裂为$2I＋1$个能级时，原子核便有可能在这些能级间跃迁。
但并非所有的能级之间的跃迁都是允许的。只有当满足下述条件时，跃迁才是能够发生的：
$$\bigtriangleup m_I=0,\pm 1$$
上式即选择定则。可见原子核只能在相邻的两个能级之间发生跃迁。
核磁共振法测量原子核的磁矩
当原子核在允许的能级之间跃迁时，能量的变化量为：
$$\bigtriangleup E=-g_I \cdot \mu_N \cdot B$$
对于给定的外场$\vec B$，如果能够测得$\bigtriangleup E$，便可得到$g_I$值，继而便可知道原子核的磁矩。
在外场$\vec B$的基础上再加上一个高频的外加磁场，使其频率满足：
$$h\nu=\bigtriangleup E=g_I\cdot\mu_I\cdot B$$
此时将会发生强烈的共振吸收，频率$\nu$则称为共振频率。从而有：
$$g_I=\frac{h\nu}{\mu_NB}$$
在实验时，调节$\nu$和$B$，即可得到$g_I$。这就是核磁共振法（NMR）的原理。
电四极矩
电多极矩的展开
空间任意带电体电势的多极矩展开
现在考虑一个任意形状的均匀带电体，其在空间某一点$\vec r_0$处产生的电势为：
$$\phi=\int_{V^{\prime}} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{\rho\left(\vec{r}^{\prime}\right)}{|\vec{r}|} d V^{\prime}$$
考虑到电荷是均匀分布的，上式可写为：
$$\phi=\frac{\rho}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{V} \frac{1}{|\bar{r}|} d V^{\prime}$$
![电四极矩]()
根据$\vec r$、$\vec{r}_{0}$和$\vec{r}^{\prime}$之间的关系：
$$\vec{r}=\vec{r}_{0}-\vec{r}^{\prime}$$
从而可得：
$$\phi=\frac{\rho}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{V^{\prime}} \frac{1}{\left|\vec{r}_{0}-\vec{r}^{\prime}\right|} d V^{\prime}$$
现在考虑将电势$\phi$在（坐标原点）处展开可得：
$$\phi=\frac{\rho}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{V}\left[\frac{1}{\left|\vec{r}{0}\right|}+\left(-\vec{r}^{\prime}\right) \cdot\left(\left.\nabla^{\prime} \frac{1}{\left|\vec{r}{0}-\vec{r}\right|}\right|{r=0}+\left(-\vec{r}^{\prime}\right)\left(-\vec{r}^{\prime}\right):\left.\left(\nabla^{\prime} \nabla^{\prime} \frac{1}{\left|\vec{r}{0}-\vec{r}^{\prime}\right|}\right)\right|_{r=0}+\cdots\right] d V^{\prime}\right.$$
电偶极矩与电四极矩
假设原子核中的电荷分布是关于z轴对称分布的（一个椭球）。
原子核在$z$轴上$z_0$点产生的电势可以写为：
$$\phi=\frac{\rho}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{V^{\prime}} \frac{1}{R} d V^{\prime}=\frac{\rho}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{V^{\prime}} \frac{d V^{\prime}}{\sqrt{z_{0}^{2}+r^{\prime 2}-2 z_{0} r^{\prime} \cdot \cos \theta}}$$
![电偶极矩]()
积分号内的根式可用Legendre多项式展开：
$$\frac{1}{R}=\frac{1}{\sqrt{z_{0}^{2}+r^{\prime 2}-2 z_{0} r^{\prime} \cdot \cos \theta}}=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{r^{\prime 2}}{z_{0}^{i+1}} P_{l}(\cos \theta)$$
上式中$P_l(\cosθ)$即为Legendre函数，其前项的具体表达式为：
$$P_{0}(\cos \theta)=1$$
$$P_{1}(\cos \theta)=\cos \theta$$
$$P_{2}(\cos \theta)=\frac{1}{2}\left(3 \cos ^{2} \theta-1\right)$$
将$1/R$的展开式代入电势的表达式中，可得：
$$\phi=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left{\frac{1}{2_{0}} \rho \int_{V} d V^{\prime}+\frac{1}{z_{0}^{2}} \rho \int_{V^{\prime}} r^{\prime} \cos \theta d V^{\prime}+\frac{1}{2 z_{0}^{3}} \rho \int_{V} r^{\prime 2}\left(3 \cos ^{2} \theta-1\right) d V^{\prime}+\mathrm{L}\right} =\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left{\frac{Z e}{z_{0}}+\frac{1}{z_{0}^{2}} \rho \int_{V^{\prime}} z^{\prime} d V^{\prime}+\frac{1}{2 z_{0}^{3}} \rho \int_{V^{\prime}}\left(3 z^{\prime 2}-r^{\prime 2}\right) d V^{\prime}+\mathrm{L}\right}$$
分析上式可以发现：
- 第一项正是一个电量为$z_e$的点电荷在$z$轴$z_0$处产生的电势；
- 第二项则是电偶极子在$z_0$处产生的电势；
- 第三项则称为电四极子在$z_0$处产生的电势。
电偶极矩和电四极矩可定义如下：
$$P:=\int_{V} \rho z^{\prime} d V^{\prime}$$
$$Q:=\frac{1}{e} \int_{V} \rho\left(3 z^{\prime 2}-r^{\prime 2}\right) d V^{\prime}$$
从上式可以看出电四极矩具有面积的量纲。
对于电偶极矩：
$$P=\int_{V^{\prime}} \rho z^{\prime} d V^{\prime}=\int_{V^{\prime}} \rho r^{\prime} \cos \theta \cdot r^{\prime 2} \sin \theta \cdot d r^{\prime} d \theta d \varphi =2 \pi \int r^{\prime 3} d r^{\prime} \int \sin \theta \cos \theta d \theta$$
考虑到积分区域具有对称性，因此上式积分最后的结果为：
$$P=\int_{V^{\prime}} \rho z^{\prime} d V^{\prime}=0$$
对于电四极矩有：
$$Q=\frac{1}{e} \int_{V} \rho\left(3 z^{\prime 2}-r^{\prime 2}\right) d V^{\prime}$$
选择柱坐标系有：
$$Q=\frac{Z}{V^{\prime}} \int_{V^{\prime}}\left[2 z^{\prime 2}-\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}\right)\right] d V^{\prime}=\frac{2}{5} Z\left(c^{2}-a^{2}\right)$$
原子核的形状与电四极矩的关系
电四极矩与原子核形状的关系
从原子核的电四极矩可以看出：
- 如果$c＝a$，原子核为球形，那么将有：$Q＝0$；
- 如果$Q\ne0$，那么必然有：$c\ne a$，即原子核不为球形。
- 如果$Q > 0$，那么必然有：$c > a$，此时原子核为一个长椭球形；
- 如果$Q < 0$，那么必然有：$c < a$，此时原子核为一个扁椭球形。
![电四极矩与核形状的关系]()
形变参量ε
为了定量的考察原子核偏离球形的程度，可引入形变参量$\varepsilon $，其定义为：
$$\varepsilon:=\frac{\Delta R}{R}$$
上式中：
- $R$为与椭球同体积的球的半径；
- $\bigtriangleup R$为椭球半径$c$与$R$的差值。
根据$\varepsilon$的定义可得：
$$c=R(1+\varepsilon)$$
根据$R$的定义有：
$$\frac{4}{3} \pi R^{3}=\frac{4}{3} \pi a^{2} c$$
从而可得：
$$a=\frac{R}{\sqrt{1+\varepsilon}}$$
将上面的各式代入电四极矩$Q$的表达式可得：
$$Q=\frac{2}{5} Z\left[R^{2}\left(1+2 \varepsilon+\varepsilon^{2}\right)-\frac{R^{2}}{1+\varepsilon}\right] \approx \frac{6}{5} Z \cdot r_{0}^{2} A^{2 / 3} \varepsilon$$
根据实验发现：
- 对大多数原子核，$\varepsilon \ne 0$，其值一般为百分之几，这说明大多数原子核是非球形的，但偏离球形的程度不大；
- 电四极矩有正有负，大多数为正值，即大多数原子核是长椭球形的。