原子核的基本性质（二）
角动量
磁偶极子在磁场中的能量
磁矩与角动量的关系
一个电量为$+q$的粒子做匀速圆周运动，其相当于一个磁偶极子。
做匀速圆周运动的粒子可以等效为一个电流，其大小为：
$$I=\frac{q}{T}=\frac{qv}{2\pi R}$$
相应的，其磁矩为：
$$\vec \mu =I\vec S=\frac{q}{2m}\cdot \vec l$$
根据量子力学计算得到的电子轨道运动的磁矩与轨道角动量的关系为：
$$\vec \mu =-\frac{e}{2m_e}\vec l=g_l(\frac{e}{2m_e})\vec l$$
$g_l$称为电子的$g$因子，脚标$l$表示其与角动量相关。
磁偶极子在磁场中的能量
处于磁场中的磁偶极子，其将受到力矩的作用，
力矩的大小为：$$\vec M=\vec \mu \times \vec B=-\mu B\cdot \sin \theta \cdot \vec e_\theta$$
如果选取$θ＝\pi /2$为平衡位置，那么其在磁场的势能为：
$$U=-\int_{\pi /2}^{\theta}\vec M\cdot d\vec \theta=-\vec \mu \cdot \vec B$$
根据前面的分析，磁矩与角动量是相关的，从而有：
$$U=-\frac{q}{2m}\vec l\cdot \vec B$$
量子力学中的角动量
力学量的取值
在经典力学中：
- 对物体的运动状态通过各力学量来描述；
- 每个力学量的取值可以直接计算得到。
在量子力学中：
- 物体的运动通过体系的态函数来描述的；
- 力学量的取值（分布）通过力学量算符对态函数的运算得到。
例如对于能量，其算符为$\hat H$，即体系的Hamilton算符。将其作用在体系的态函数上，如果下式成立：
$$\hat H \left | \psi_n \right \rangle =E_n \left | \psi_n \right \rangle$$
便称是$\left | \psi_n \right \rangle$能量算符的一个本征态，此时体系的能量为$E_n$。
脚标$n$则称为量子数，其决定了力学量（即能量）的取值。
例如对于无限深方势阱中的粒子，其能量的取值为：
$$E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}$$
总结
在量子力学中，力学量的取值是通过算符来计算的。对于一个力学量$F$，其算符为$\hat F$，其作用在本征态$\left | F_n \right \rangle$上：
$$\hat F \left | F_n \right \rangle=f_n \left | F_n \right \rangle$$
通过求解上式（本征方程），可以得到一系列满足（边界）条件的量子数$n$。
力学量$F$的取值，则由量子数$n$来决定。
轨道角动量
对于轨道角动量$\vec l$，其力学量算符的表达式为：
$$\hat{\vec l}=\hat{l_x}\cdot\hat{e_x}+\hat{l_y}\cdot\hat{e_y}+\hat{l_z}\cdot\hat{e_z}$$
其本征方程为：
$$\hat{\vec l^2}\left | l,m \right \rangle =l(l+1)\hbar^2 \left | l,m \right \rangle$$
上式中，$l$称为轨道角动量量子数；$m$则称为磁量子数。
根据轨道角动量量子数便可确定轨道角动量的大小：
$$\sqrt{l(l+1)}\hbar$$
对于$\hat{\vec l}$在$z$轴方向上的分量$\hat{l_z}$，其本征方程为：
$$\hat{l_z} \left |l,m \right \rangle = m\hbar \left |l,m \right \rangle$$
从而$\hat{l_z}$的取值为：
$$m\hbar$$
磁量子数$m$的取值范围为：
$$m=-l,-l+1,\dots,0,\dots,l-1,l$$
角动量的定义
对于轨道角动量，可以得到如下关系式：
$$\left [ \hat{l_{\alpha}},\hat{l_{\beta}} \right]=\hat{l_\alpha}\hat{l_\beta}-\hat{l_\beta}\hat{l_\alpha}=\varepsilon_{\alpha\beta\gamma}i\hbar\hat{l_\gamma} \ (\alpha,\beta,\gamma=x,y,z)$$
在量子力学中，如果力学量$\hat{\vec F}$的三个分量满足以下关系式，则称$\hat{\vec F}$为角动量：
$$\left [ \hat{F_{\alpha}},\hat{F_{\beta}} \right] = \varepsilon_{\alpha\beta\gamma}i\hbar\hat{F_\gamma} \ (\alpha,\beta,\gamma=x,y,z$$
角动量的耦合
现在考虑两个角动量耦合的情况下，假设：
$$\hat{\vec l} = \hat{\vec l_1}+\hat{\vec l_2}$$
那么$\hat{\vec l}$的取值则由其本征方程确定：
$$\hat{\vec l^2} \left | l_1m_1l_2m_2 \right \rangle = l(l+1)\hbar^2 \left | l_1m_1l_2m_2 \right \rangle$$
其大小为：
$$\sqrt{l(l+1)}\hbar$$
其中，$l$的取值范围为：
$$l=l_1+l_2,l_1+l_2-1,\dots,\left | l_1-l_2 \right |$$
相应的，$\hat{\vec l}$在$z$轴方向上的分量的取值也由其本征方程确定：
$$\hat{l_z} \left | l_1m_1l_2m_2 \right \rangle = m\hbar \left | l_1m_1l_2m_2 \right \rangle$$
$\hat{l_z}$的大小为：
$$m\hbar$$
$m$的取值范围为：
$$m=-l,-l+1,\dots,0,\dots,l-1,l$$