原子核的基本性质（一）

原子核的组成

质子和中子

• 现在知道原子核由质子和中子组成，其中：

  • 质子：电荷量为$+e$，$m_p=1.67262158*10^{-24}g$
  • 中子：不带电，$m_n=1.67492716*10^{-24}g$

• 质子和中子统称为核子。

• 自由状态下的中子并不稳定：

  $$n\to p+e^-+\overline v$$

• 中子的半衰期为10.5min，平均寿命约为896s。

• 质子半衰期的理论计算值为：

  $$T_{1/2}\ge 10^{35}a$$

• 可以认为其是一种稳定的粒子。

原子核的电荷

• 原子核的电荷等于原子核中的质子所带的电荷量，其电荷数用Z标识。

• 1913年，H.G.J.Moseley发现元素所放出的特征X射线的频率与原子序数Z有如下的关系：

  $$\sqrt{\nu}=AZ-B$$

  其中，A和B为一对常量，对于一定范围内的元素，其不随Z发生改变。

原子核的质量

原子质量的单位

• 质子和中子的质量大小，通常采用的是原子质量的单位，记作u(unit)。

• 原子质量单位：一个$^{12}C$原子质量的$1/12$。

  $$1u=\frac{12}{N_A} \cdot \frac{1}{12}=\frac{1}{N_A}=1.6605387*10^{-24}g$$

• 根据狭义相对论，可以得到质能关系表达式：

  $$E=mc^2$$

  将上式进行变换便可以得到质量的表达式：

  $$m=\frac{E}{c^2}$$

  为了方便计算，一般不将光速的平方计算出来，而是将其保留在单位中。从而质量便可以表示为“$J/c^2$”。

• 在原子核物理和粒子物理中，习惯采用另一个能量单位“$eV$”：

  $$1eV=1e \cdot 1V \approx 1.6*10^{-19}J$$

  相应的有：

  $$1KeV=10^3eV$$

  $$1MeV=10^6eV$$

  $$1GeV=10^9eV$$

  其中最常用的为$MeV$。从而质量的单位便可以采用：$MeV/c^2$。

质谱仪

• 对于微观粒子质量的测量，通常采用质谱仪。

• 通常通过测定原子质量（离子质量），来推知核的质量，即认为原子核的质量是原子质量与核外电子质量之差：

  $$M(Z,A)=m(Z,A)+Z \cdot m_e$$

• 质谱仪测量粒子质量的原理：

  $$\frac{1}{2} Mv^2 = q{ \color{Red} V }$$
  $$qvB = \frac{Mv^2}{R}$$
  得到：
  $$M = \frac{qB^2R^2}{2{\color{red} V }}$$

原子核质量的精确测量

• 实际当中，由于测量系统的误差，因此常利用高分辨率的质谱仪对一些质量双线的测量结果作为标准质量谱。
• 质量双线是两个荷质比$q_1/M_1$和$q_2/M_2$很接近的离子在质谱仪上所产生的谱线。
• 由于荷质比很接近，在测量时，系统误差可以相互抵消，从而提高测量精度。

同位素的概念

• 质子数相同而中子数不同的两种核素称为同位素。

• 中子数相同而质子数不同的两种核素称为同中子素。

• 质量数相同、但质子数不同的两种核素称为同量异位素。

• 质量数和中子数互换的一对核素，称为镜像核。

  名称	质子数	中子数	质量数	举例
  同位素	相同	不同	不同	$^1H、2H、3H$
  同中子素	不同	相同	不同	$^2H, ^3He$
  同量异位素	不同	不同	相同	$^{14}C, ^{14}N$
  镜像核	不同	不同	相同	$^3H, ^3He$

核力的基本性质

核力的存在性

• 原子核内含有多个质子，质子之间存在着Column斥力，会使核子趋于分散，从而使原子核不稳定。
• 为了维护原子核的稳定，需要有核子间的吸引力来抵抗这种排斥力。
• 根据简单的估算可以发现，核子之间的万有引力无法抵抗质子之间的Column斥力。
• 自然界中存在大量的稳定的原子核，因此核子之间必然存在一种相互作用，其大小能够抗衡质子之间的排斥力，从而维护原子核的稳定。
• 这种核子之间的吸引力，称之为核力。

核力的主要性质

短程力

• 根据核力的散射研究可以发现，核力是一个短程力。

饱和性

• 核子只与其相邻近的有限个核子存在相互作用。
  • 原子核内的物质密度近似为常数；
  • 原子核的平均结合能近似为常数。

存在排斥芯

• 当两个核子的间距减小时，其核力将会增大。但是不会无限增加下去。
• 高能$p-p$散射实验表明，需要在核子-核子作用势函数中引入排斥芯，即在$r0 \approx 0.4fm$处势函数有很强的排斥作用。

近似电荷无关性

• 当两个核子处于相通的自旋和宇称时，两个核子之间的相互作用势是一样的，不管这两个核子是$n-n$、$p-p$还是$n-p$。

原子核的半径

• 实际当中，原子核半径是通过间接方法测量的。其基本思想是利用各种粒子轰击原子核。
• 根据入射粒子的不同，可将结果分为：
  • 核力作用半径
  • 电荷分布半径

核力作用半径

• 如果选择中子作为轰击粒子，入射粒子和靶核之间只存在核力（忽略引力），此时可得到一个关于原子核的半径，称为核力作用半径。

• 实验结果表明，核力作用半径与质量数A相关，可近似的用下面的经验公式表示：

  $$R \approx r_0 \cdot A^{1/3}$$

  上式中，$r_0＝(1.4 \sim 1.5)×10-15 m＝(1.4 \sim 1.5) fm $。

电荷分布半径

• 如果采用某种核素的原子核轰击靶核：

  • 带电粒子与靶核中的核子有核力的作用；
  • 还将与靶核中的质子有coulomb力的作用。

• 选择电子作为入射粒子，电子将只与靶核中的质子发生电磁相互作用。

• 利用电子作为入射粒子得到的原子核的半径实际上是原子核内的质子分布半径，也称为电荷分布半径。

• 实验表明，电荷分布半径可以用下面的经验公式表示：

  $$R \approx 1.1*A^{1/3}fm$$

• 根据de Broglie关系式，可知如果要求电子的波长越短，则要求其能量越高：

  $$\lambda=\frac{hc}{\sqrt{E_k(E_k+2E_0}} \to \frac{hc}{E_k}$$

电荷分布与物质分布

原子核内的电荷分布

• 利用高能电子轰击靶核，还可以得到原子核内电荷的分布情况。

• 下式为最常用的电荷分布形式（也称为Fermi分布）：

  $$\rho=\frac{\rho_0}{1+e^{(r-R)/d}}$$

  上式中，$R$为半密度半径，$d$为刻画表层厚度的参数。

• 如果设$t$为由中心密度的$90%$下降到$10%$所经历的距离，那么有：

  $$t＝4d \cdot ln3 \approx 4.396d$$

• 实验表明，对于各种核，其都具有相同的$t$值：

  $$t＝(2.4 \pm 0.3) fm$$

原子核内的物质分布

• 原子核的物质分布半径和电荷分布半径可能不同。
• 实验表明，对于具有较大中质比的原子核，中子分布半径要略大于质子分布半径，即存在所谓的“中子皮”。
• 中子皮的厚度约为$0.2fm$左右。
• 对于$^6He$和$^8Be$，它们中子皮的厚度可达到$0.9fm$。
• 对于一些中质比很大的不稳定核素，其中子皮可能会很厚，甚至远离核芯，在外围形成一层晕，即“中子晕”。
• 对于$^{11}Li$，它的中子晕的厚度可达到$1.7 fm$左右。

结论

• 从实验结果可以发现，对于原子核：

  ​ 电荷分布半径$\le$核力作用半径

• 更重要的结论是：核半径近似的与$A^{1/3}$成正比：

  $$R \propto A^{1/3}$$

  这意味着

  $$R \propto A^{1/3} \sim V$$

• 原子核中的核子数密度$n$：

  $$n=\frac{A}{V} \approx const$$

  即原子核的核子数密度接近为常数

• 上面的结论从一方面说明了核力的饱和性。