量子计算导论

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科学思想的伟大之处在于它在多大程度上激发思考并开辟新的思路。

“科学思想的伟大之处在于它在多大程度上激发思考并开辟新的思路。”
——保罗·狄拉克

本章提供量子计算的概述，为读者提供实现超导量子比特所需的信息。

为此，本章研究了基于DiVincenzo准则的通用量子计算架构，并深入探讨了量子门、量子算法和量子纠错的概念。此外，本章探讨了各种量子计算平台，并讨论了与扩展相关的技术挑战。本章最后研究了构建超导量子计算机所需的实用技能。

量子计算

量子力学以其反直觉的概念（如叠加和纠缠）彻底改变了我们对自然的理解。费曼和曼宁首先设想利用量子效应对量子物体进行计算[1]。1982年，费曼假设了通用量子模拟器的概念，塞思·劳埃德后来在1996年证明它就是一种量子计算机。这意味着量子计算机可以被编程来模拟任意量子系统的行为，其动力学由局域相互作用决定。

以下各节研究量子计算机的架构，探索量子计算机可以处理的各种应用，并解释使用单量子比特和双量子比特门的量子信息处理。

量子计算的力量

第1章介绍了叠加的概念，并展示了微观物体（如原子）如何同时存在于多个状态中。叠加原理使每个量子比特能够同时存在于两种状态中。因此，拥有n个量子比特为量子计算机提供了2ⁿ个计算资源。这种随量子比特数量指数增长的计算资源将量子计算机与经典计算机区分开来，后者的计算资源随比特数量线性增长。

人们可能想知道如何利用叠加来加速计算。想象一下，例如，迷宫探索者试图找到出路。如果他们能够创建自己的多个副本，搜索过程将会容易得多。处于叠加态允许搜索过程并行化。第2.2.5节研究了量子算法中量子并行性如何工作。

纠缠是另一种迷人的量子力学现象，在经典物理学中没有对应物。回想第1章，当两个或多个量子系统允许相互作用时，它们可以处于纠缠态，其中描述系统的唯一方法是描述整个系统。换句话说，具有纠缠的量子系统不能被分解并通过描述其各个子系统来表征。此外，纠缠粒子（如纠缠量子比特）以这样一种方式相关：如果我们测量一个量子比特并发现它处于|0⟩态，我们可以确定另一个量子比特将处于|1⟩态。纠缠粒子之间的这种相关性可以在量子计算机、量子通信和量子成像系统中利用。第2.2.2节介绍了构建通用量子门集所需的纠缠双量子比特门，以执行量子计算。

叠加和纠缠现象以及干涉效应可以被利用来创建量子处理器，这些处理器可以比经典处理器指数级更快地执行特定计算任务。量子计算机主要有助于大规模模拟和优化、因式分解和密码学问题。应该强调的是，量子计算机在所有类型的计算中不一定比经典计算机更快、更高效。例如，在量子计算机上相加两个整数是极其缓慢和低效的。如果你问量子计算机1+1的结果是什么，它有80%的概率回答2，这对日常使用没有帮助。

DiVincenzo准则

大卫·DiVincenzo概述了物理系统必须满足的五个要求，才能成为可行的量子计算平台[3]。根据这些准则，我们需要：

  1. 我们需要一个可扩展的物理系统，具有良好表征的二能级量子系统或量子比特。原子可以作为量子比特，其中原子的基态由|0⟩表示，激发态由|1⟩表示。用适当的能量激发使原子从|0⟩到|1⟩。原子最终弛豫到基态并发射光子。第2.3节表明，量子比特可以使用自然和合成物理系统实现。这些量子比特可以通过各种物理性质体现，如超导电路的电荷、光子的偏振或电子的自旋，所有这些都可以表示量子比特的不同状态。多个量子比特构成量子处理器。

  2. 我们需要一个可以初始化为已知值的量子寄存器，在计算开始之前。初始化要求对量子纠错也至关重要。

  3. 在经典计算机中，算法可以用布尔函数表示。任何任意布尔函数都可以使用称为通用逻辑门的单一类型门实现。通用逻辑门的例子是NAND和NOR门。量子算法是一系列幺正变换U₁=e^(iH₁t/ħ)、U₂=e^(iH₂t/ħ)…，其中哈密顿量H₁、H₂…产生这些变换（见第1章的幺正变换）。幺正变换称为量子逻辑门或量子门。由于经典逻辑门对一个或两个经典比特进行操作，最常见的量子门对一个或两个量子比特的空间进行操作。这意味着单量子比特和双量子比特量子门可以分别用2×2或4×4幺正矩阵描述。

与经典计算机一样，我们需要一组通用量子门，任何对量子比特可能的变换都可以归约为它（即任何其他幺正操作都可以表示为来自该集合的门的有限序列）。通用量子操作集由任意单量子比特操作和一个纠缠双量子比特操作组成，通常是受控非门（CNOT）。

  1. 最后，我们需要能够读出计算结果。

  2. 所有这些任务都必须以高保真度和足够的速度完成，使得退相干过程不会破坏量子信息。

一旦在系统中满足这样一组准则，它就可以用于实现所有可想象的量子算法。这些准则的实现可能因每个平台而异。第2.3节讨论不同的量子计算平台。

总之，要在可扩展系统（具有许多量子比特的系统）中实现量子计算机，有必要将对量子比特的访问（初始化、控制、读出）与高程度的隔离（相干性）相结合。

我们看到量子计算机必须满足矛盾的要求。一方面，它必须被控制（即与环境耦合）。另一方面，它必须与环境解耦，因为环境会因退相干而恶化系统的量子行为。参见[3]了解DiVincenzo为实施量子通信提出的另外两个准则。

量子计算机的应用

下一个问题是：既然我们了解了构建量子计算机的先决条件，那么用量子计算机可以完成什么？本节简要概述量子计算机的潜在应用。

网络安全

RSA（Rivest-Shamir-Adleman）是安全数据传输广泛使用的加密标准。RSA加密的安全性依赖于分解两个大素数乘积的指数复杂性。1994年，彼得·肖尔证明，使用量子计算机可以将因式分解复杂性降低到多项式，这使得破解RSA加密成为可能[4]。

量子计算机还可以增强当前的安全协议。量子比特在网络安全中的一个潜在未来应用是量子密钥分发（QKD）。这种方法利用观察者效应¹来创建理论上不可能被截获的传输[5]。

¹观察者效应指的是测量或观察量子系统导致其量子状态改变的现象。

化学、材料科学和药物开发

材料发现和药物开发历史中的许多记载都强调了运气和偶然性在此类发现中的重要性。由于原子组合和键合配置的数量庞大，组合学对于创造新的有用化合物至关重要。这就是量子计算机可以帮助模拟复杂分子结构的地方。

银行和金融

金融因素的复杂性和多样性使金融机构难以准确解决手头的问题，往往导致过度简化的解决方案，损害结果的准确性。量子计算可以通过放宽约束并允许探索更多结果来解决更复杂的问题。

量子信息处理

如DiVincenzo准则所讨论的，需要由单量子比特和双量子比特纠缠门组成的通用量子门集来实现任何量子算法。我们将在本节讨论单量子比特和双量子比特门。本节最后研究量子算法的架构、量子纠错和量子霸权。

单量子比特门

本节介绍单量子比特门，以及将这些门应用于量子态如何导致布洛赫球上状态的旋转。

所有单量子比特门都可以用2×2幺正矩阵表示。这些门将量子比特的状态作为输入，并生成量子比特的新状态作为输出。任何2×2幺正矩阵，或者换句话说，任何单量子比特门，都可以写成单位矩阵I和三个泡利矩阵的线性组合，如(1.33)所给。换句话说，2×2幺正矩阵的空间由三个泡利矩阵和单位矩阵I张成。

任何单量子比特门都可以表示为围绕布洛赫球x、y和z轴旋转的组合。围绕不同轴的旋转R_i(θ)（i=x,y,z）由下式给出：

$$R_x(\theta)\equiv X_\theta\equiv e^{-i\theta\sigma_x/2}=\begin{pmatrix} \cos\frac{\theta}{2} & -i\sin\frac{\theta}{2} \ -i\sin\frac{\theta}{2} & \cos\frac{\theta}{2} \end{pmatrix}$$

$$R_y(\theta)\equiv Y_\theta\equiv e^{-i\theta\sigma_y/2}=\begin{pmatrix} \cos\frac{\theta}{2} & -\sin\frac{\theta}{2} \ \sin\frac{\theta}{2} & \cos\frac{\theta}{2} \end{pmatrix}$$

$$R_z(\theta)\equiv Z_\theta\equiv e^{-i\theta\sigma_z/2}=\begin{pmatrix} e^{-i\theta/2} & 0 \ 0 & e^{i\theta/2} \end{pmatrix}$$

第3章讨论如何使用具有适当振幅、相位和宽度的调制微波脉冲进行旋转。某些脉冲有特定的名称，如π脉冲和π/2脉冲，对应于布洛赫球上的旋转角度。如果我们从|0⟩态开始，π脉冲将状态从|0⟩带到|1⟩，π/2脉冲创建叠加态。

在布洛赫球上到达最终状态的轨迹所需的时间称为门操作时间。根据量子计算平台和硬件实现，门操作时间可以从超导量子比特的几十纳秒到离子阱的微秒不等[6]。

还要注意，布洛赫球上实际行进的轨迹看起来更像图2.1(b)，不像图2.1(a)所暗示的那样平滑和笔直。

各种类型的单量子比特门讨论如下：

  • 比特翻转门或X门，也称为非门，将基态变换为X|0⟩=|1⟩和X|1⟩=|0⟩。X门由下式给出：

$$X=\begin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

该门等效于σ_x泡利算符，这是围绕x轴的π旋转，如图2.1(a)所示。

  • Hadamard门生成叠加态，这是许多量子算法的基本起点。Hadamard门H由下式给出：

$$H=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & -1 \end{pmatrix}$$

当Hadamard门作用于|0⟩态时，输出是|0⟩和|1⟩态的等概率叠加H|0⟩=(|0⟩+|1⟩)/√2。就旋转而言，Hadamard门反映围绕布洛赫球x-z平面中位于球两极之间的轴的π旋转，如图2.2(a)所示。

  • 相位翻转门或Z门等效于σ_Z泡利算符，量子比特状态的方位角旋转π。Z门由下式给出：

$$Z=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

Z门作用于叠加态(|0⟩+|1⟩)/2的结果为Z((|0⟩+|1⟩)/2)=(|0⟩-|1⟩)/2[即方位角方向的π旋转，将量子比特带到x轴的对面，如图2.2(b)所示]。

  • 相位门S可以看作是Z门的平方根，因为S²=Z。这等效于方位角旋转π/2，由下式给出：

$$S=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & i \end{pmatrix}$$

  • π/8门或T门可以看作是相位门的平方根，因为T²=S。这等效于方位角旋转π/4，这与门的名称所传达的不符。T门由下式给出：

$$T=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & e^{i\pi/4} \end{pmatrix}$$

双量子比特门

如第2.1.2节所述，需要单量子比特和纠缠双量子比特门来创建通用量子门集。如第1章所讨论，并非所有量子态都可以表示为两个个体量子态的张量积。这些不可分解的状态，如贝尔态|Φ⁺⟩=(|00⟩+|11⟩)/2，称为纠缠态。纠缠态不能分解为其组成状态，描述它们的唯一方法是描述整个系统[5]。

现在让我们看看单量子比特门如何作用于双量子比特态。假设Hadamard门H作用于第一个量子比特|ψ₁⟩，相位门S作用于第二个量子比特|ψ₂⟩；然后我们可以使用它们的张量积重写它们对两个量子比特的同时效应H|ψ₁⟩⊗S|ψ₂⟩=(H⊗S)|ψ₁ψ₂⟩。Hadamard门H和S门的张量积由下式给出：

$$H\otimes S=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & i \end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & i \end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \ 0 & i & 0 & i \ 1 & 0 & -1 & 0 \ 0 & i & 0 & -i \end{pmatrix}$$

这个4×4幺正矩阵作用于(1.36)中给出的四维状态向量。

一类纠缠门是受控操作，其中一个量子比特（标记为控制量子比特）决定门何时作用于目标量子比特。

受控非门或CNOT门是典型的双量子比特纠缠门，表示为：

$$\text{CNOT}=|00\rangle\langle00|+|11\rangle\otimes X=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

CNOT门的示意图如图2.3(a)所示。如果控制量子比特是|1⟩，则对目标量子比特应用非操作。因此，CNOT门将|10⟩映射到|11⟩，|11⟩映射到|10⟩，而保持状态|00⟩和|01⟩不变。

另一个双量子比特门是图2.3(b)所示的受控相位门（CPHASE）。如果控制量子比特处于|1⟩态，该门将Z门应用于目标量子比特。CPHASE门定义如下：

$$\text{CPHASE}=|00\rangle\langle00|+|11\rangle\otimes Z=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$

应用iSWAP门导致两个量子比特之间的激发交换，并添加相位i=e^(iπ/2)。通过打开量子比特之间的电容耦合一定时间，可以在超导量子比特中实现该门。iSWAP门由下式给出：

$$\text{iSWAP}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & -i & 0 \ 0 & -i & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

可以证明，CNOT门和单量子比特门可以用来构建iSWAP门[6]。

称为√iSWAP门的iSWAP门可以生成类似贝尔的叠加态，如|01⟩+i|10⟩。√iSWAP门由下式给出：

$$\sqrt{\text{iSWAP}}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1/\sqrt{2} & -i/\sqrt{2} & 0 \ 0 & -i/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

除了双量子比特门外，三量子比特门（如Toffoli门和CSWAP门）执行更复杂的多量子比特操作。这些门在量子纠错方案等中有应用。

我们已经回顾了标准的单量子比特和双量子比特门。某些门集优于其他门集，具体取决于量子比特平台、架构和门实现复杂性。通用量子门集的一个选择是G={X_θ, Y_θ, Z_θ, Ph_θ, CNOT}，由围绕布洛赫球三个轴的三个单量子比特旋转、对单量子比特应用总相位θ的PH_θ=e^(iθ)I门和双量子比特CNOT门组成。另一个可能的通用量子门集是G={H, S, T, CNOT}[6]。

门保真度

通过组合单量子比特和双量子比特门构建的量子电路使我们能够实现量子算法。量子算法的计算结果取决于所实现量子门的质量，这由结果状态与理想量子门的对齐程度决定。噪声和量子比特控制中的不完善等因素可能引入量子门实际输出与理想输出之间的差异，由门保真度量化。

实现高保真度门对于实现量子纠错至关重要，这是实现容错量子计算机的基本组成部分。第2.2.6节表明，对于每个量子纠错算法，门保真度需要超过某个容错阈值[7]。例如，实现表面码（一种著名的量子纠错算法）的阈值要求门保真度超过99%[8]。

假设量子系统处于状态|ψ⟩，发生具有动力学ε的某些物理过程，将量子系统变换到状态ε(|ψ⟩⟨ψ|)[5]。应用于|ψ⟩态的门由幺正操作U表示。如果ε(|ψ⟩⟨ψ|)应用于不同的纯态|ψ⟩，可以估计以理想目标状态结束的平均概率。这个想法可用于计算平均门保真度如下：

$$\bar{F}(e,U)=\int\langle\psi|U^\dagger e(|\psi\rangle\langle\psi|)U|\psi\rangle d\psi$$

该积分的计算涉及使用均匀分布对所有可能的纯态进行平均[5]。保真度范围从0到1，其中保真度为1表示产生期望目标态的完美门操作。

相干时间，或量子比特保持相干性和保持量子信息的持续时间，决定了可以应用于量子比特的量子门或量子比特操作的数量。因此，短门时间是可取的，因为门保真度从上方受量子比特相干时间的限制。容错量子计算机的最终目标是达到十亿到一万亿次量子门操作。

评估量子处理器的性能

本节讨论评估门保真度的三种方法：双π度量、量子过程层析（QPT）和随机基准测试。这些方法在评估量子门的准确性和性能方面发挥关键作用，使量子工程师能够获得有关门操作质量的宝贵见解。

双π度量

双π（π-π）度量涉及连续应用两个π脉冲，理想情况下应导致恒等操作I。可以通过测量脉冲后激发态的残余群体来确定与I的偏差[9]。这个简单的测试有助于检测超出二能级希尔伯特空间的能级存在以及量子比特弛豫效应。然而，它只能提供实际门保真度的粗略估计，因为它缺乏所有可能错误的信息。此外，双π度量不能有效解释专门影响σ_x和σ_y本征态的错误，或旋转角度与π的偏差[9]。

QPT

QPT旨在确定过程矩阵χ。为此，我们应用第一个脉冲，从{I, R_x(π), R_x(π/2), R_y(π/2)}中选择，以准备四个线性独立的输入状态|0⟩、|1⟩、(|0⟩+i|1⟩)/2和(|0⟩-|1⟩)/2，其投影算符²张成2×2密度矩阵的空间[FORMULA_3]。第二个脉冲从{I, R_x(π/2), R_y(π/2)}中选择，对应于我们用于确定χ的过程。通过使用最终脉冲（{I, R_x(π), R_x(π/2), R_y(π/2)}）旋转测量轴，可以对前两个脉冲产生的状态执行态层析[9]。图2.4显示了π/2相位门的QPT。

QPT所需的测量数量随量子比特数量指数增长。此外，不完善的测量使得将QPT获得的结果归因于单个门错误变得具有挑战性。第2.2.3.1.3节介绍的随机基准测试解决了这些问题。

²根据定义，投影算符P=|i⟩⟨i|作用于量子态并将其投影到状态|i⟩上。

随机基准测试

每个量子比特操作涉及三个步骤：将量子比特准备为已知的量子态；应用一个量子门或一系列门；最后，测量量子比特的状态。这些步骤中的每一个都容易出错，因此我们需要一种方法来仅隔离量子门引起的错误，与态制备和测量（SPAM）错误分开。

π-π和QPT方法容易受到SPAM错误的影响。随机基准测试是表征量子门错误以估计其平均保真度的标准方法。目标是通过在随机序列中应用门并跟踪错误随电路长度增加的程度来表征一组门。序列从克利福德群生成元（R_u=e^(±iσ_uπ/4)，其中u=x,y）中随机选择。这种方法可以将量子门引起的错误与SPAM引起的错误隔离开来。这是通过观察错误随我们增加电路长度的变化来实现的，在观察错误差异时有效抵消测量错误。随机基准测试某些版本的另一个优势是它们的效率，因为它们可以有效地应用于大量量子比特。图2.5(a)显示了序列门保真度与电路长度的典型图，对应于使用的克利福德门数量。图2.5(b)显示了单个微波控制脉冲，图2.5(c)显示了用于随机基准测试的脉冲序列。黑（灰）脉冲对应于y（x）轴的旋转。

量子电路

我们可以通过组合单量子比特和双量子比特门来构建量子电路。图2.6说明了一个由四个输入量子比特q₀到q₃、Hadamard门和CNOT门组成的量子电路。仪表符号代表测量操作。量子电路通常按应用顺序从左到右书写。然而，在计算门序列的结果时，计算从右到左执行。因此，如果我们将U₁…Uₙ门应用于输入态|ψ_in⟩，从左侧的U₁开始，得到的输出态|ψ_out⟩由下式给出：

$$|\psi_{out}\rangle=U_n\cdots U_2U_1|\psi_{in}\rangle$$

量子算法

通用量子算法如图2.7所示，涉及以下步骤：

  • 使用单量子比特操作（如Hadamard门）将初始化的量子比特寄存器带入叠加态。
  • 应用多量子比特幺正操作以使用单量子比特和双量子比特门编码函数f。
  • 实现处理步骤，涉及单量子比特和双量子比特门，允许在计算基上解释量子比特寄存器。
  • 测量部分或全部量子比特。

让我们看看如何编码经典函数f(x)[5]。由于量子信息中的所有计算步骤必须是可逆的（如第1章所解释），需要f(x)的特定版本，通过以下映射U_f定义：

$$U_f:|x\rangle|y\rangle\rightarrow|x\rangle|y\oplus f(x)\rangle$$

通过从输出寄存器中的|0⟩态量子比特开始，可以评估f(x)并在输出寄存器中得出结果：

$$U_f|x,0\rangle=|x,f(x)\rangle$$

考虑具有初始态|00⟩的两个量子比特，并对两者应用Hadamard门：

$$a=(H\otimes H)|00\rangle=\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}\otimes\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}(|00\rangle+|01\rangle+|10\rangle+|11\rangle)$$

这给出了涉及双量子比特输入寄存器中所有计算态的最大叠加态。现在通过结合(2.12)和(2.13)，我们得到：

$$U_f a|0\rangle=\frac{1}{2}U_f(|00\rangle+|01\rangle+|10\rangle+|11\rangle)\otimes|0\rangle=\frac{1}{2}(|00,f(00)\rangle+|01,f(01)\rangle+|10,f(10)\rangle+|11,f(11)\rangle)$$

虽然我们仅通过应用U_f操作f(x)一次，但输出寄存器包含f(x)对所有可能x值的评估。挑战是如何提取这些信息。测量输出寄存器中的量子比特在x的随机值处产生f(x)，这不是量子计算独有的。量子计算的独特之处在于能够利用干涉效应来增强输出测量时获得正确答案的概率。这涉及在编码函数后应用额外的幺正门，以建立f(x)对不同x值的多个评估之间的关系。因此，我们使用f(x)值的组合来确定正确答案，而不是评估f(x)的个体值。这展示了量子计算如何利用量子操作和干涉效应更高效地解决问题。

开发量子算法是一项具有挑战性的工作，需要与开发经典算法截然不同的思维方式。以下是一些著名量子算法的例子[5]：

  • Grover算法：一种量子搜索算法，可以在大小为N的无序数据库中找到标记项，只需O(√N)次查询预言机，而经典算法需要O(N)次查询。
  • Shor算法：一种用于整数分解的量子算法，比最著名的经典算法指数级更快。Shor算法对密码学有重要影响，因为现代密码学的很大一部分，如广泛使用的RSA加密方案，依赖于分解大数的困难性。
  • Deutsch-Jozsa算法：量子算法比任何可能的确定性经典算法指数级更快的最早例子之一。Deutsch-Jozsa算法目前在实践中应用有限。
  • 量子傅里叶变换：经典离散傅里叶变换的量子版本，在许多量子算法（如Shor算法）中发挥核心作用。

Deutsch算法

Deutsch-Jozsa问题涉及一个称为预言机的量子计算机，它执行特定函数，记为f:{0,1}ⁿ→{0,1}。该函数接受n位二进制输入，并为每个输入产生0或1输出。该函数保证是常数（对所有输入输出0或对所有输入输出1）或平衡的，即对一半输入输出1，对另一半输入输出0。问题的目标是使用预言机确定函数是常数还是平衡的。

Deutsch算法是更一般的Deutsch-Jozsa算法的特定实例，其中f:{0,1}ⁿ→{0,1}中的输入大小为n=1。要检查的条件是f(0)是否等于f(1)。这也可以表示为f(0)⊕f(1)，其中⊕是模2加法，也可以认为是作为CNOT门实现的量子异或门。如果结果为零，则函数f是常数；否则，它不是常数。算法从双量子比特态|0⟩|1⟩开始，然后对每个量子比特进行Hadamard变换，产生(|0⟩+|1⟩)(|0⟩-|1⟩)/2。算法提供了函数f的量子实现，将|x⟩|y⟩映射到|x⟩|f(x)⊕y⟩。将此函数应用于我们当前的状态，我们得到：

$$\frac{1}{2}(|0,f(0)\oplus0\rangle-|0,f(0)\oplus1\rangle+|1,f(1)\oplus0\rangle-|1,f(1)\oplus1\rangle)=(-1)^{f(0)}\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+(-1)^{f(0)\oplus f(1)}|1\rangle)\frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}}$$

忽略最后一位和全局相位，结果为(|0⟩+(-1)^(f(0)⊕f(1))|1⟩)/2。

对此态应用Hadamard变换后，我们得到：

$$\frac{1}{2}(|0\rangle+|1\rangle+(-1)^{f(0)\oplus f(1)}(|0\rangle-|1\rangle))=\frac{1}{2}((1+(-1)^{f(0)\oplus f(1)})|0\rangle+(1-(-1)^{f(0)\oplus f(1)})|1\rangle)$$

当且仅当我们测量|0⟩时f(0)⊕f(1)=0，当且仅当我们测量|1⟩时f(0)⊕f(1)=1。因此，我们可以完全确定地确定函数f(x)是平衡的还是常数的。

量子纠错

如第1.3节和第3.2节所讨论，热噪声或准粒子中毒等现象导致量子比特退相干并导致量子信息丢失。因此，量子计算机必须能够纠正由退相干和有限控制精度引起的错误，以确保容错操作。经典比特仅受比特翻转错误的影响，而量子比特可能遭受比特翻转和相位翻转错误。比特翻转错误发生在量子比特的状态从|0⟩翻转到|1⟩或反之亦然时。相位翻转错误影响量子比特的相位，导致预期变为α|0⟩+βe^(iφ)|1⟩的状态，但实际上变为α|0⟩+βe^(i(φ+δ))|1⟩。为了解决这些错误，可以使用相应的代码，如比特翻转代码和相位翻转代码。

阈值定理指出，存在临界错误率，低于该错误率，量子计算机可以通过应用量子纠错方案将逻辑错误率抑制到任意低的水平[7]。阈值取决于所选量子纠错方案等因素。例如，表面码（研究最广泛的代码之一）要求在噪声系统中有效纠错的门保真度至少为99%。在实践中实现如此高的门保真度是一个重大挑战。然而，在各种量子计算平台（包括超导量子比特）中，单量子比特和双量子比特门的门保真度已超过99%。

量子纠错方案将单个容错逻辑量子比特编码在多个物理量子比特中。与经典纠错方案一样，额外的量子比特编码量子信息以检查错误、纠正错误并实现持续操作。量子汉明界限表明，至少需要五个物理量子比特来编码单个逻辑量子比特，以允许任意纠错。有提议使用5、7和9个量子比特的量子纠错代码[7]。因此，量子计算机中的显著开销来自需要大量物理量子比特的量子纠错方案。最近的实验表明，通过执行重复、快速和高性能的量子纠错循环，容错量子计算实际上是可以实现的[11,12]。

目前，量子计算领域处于噪声中等规模量子（NISQ）时代[13]。”噪声”指的是目前没有连续纠错代码应用于量子算法的事实，”中等规模”指的是有限的量子比特数量。这两个障碍阻止量子计算机有效发挥其解决复杂问题的真正计算能力。然而，一些为当前量子处理器设计的小规模问题可以使用NISQ算法解决。要超越NISQ时代，需要更复杂的具有纠错能力和显著更多量子比特的容错量子计算机。

量子霸权

量子霸权是一个重要的里程碑，证明量子计算机可以通过解决特定计算任务来超越经典计算机，而最先进的经典计算机永远无法在合理的时间内解决该任务。谷歌的研究人员创建了第一个展示量子霸权的量子处理器[14]。该处理器由53个超导transmon量子比特组成，用于在几百秒内完成特定计算任务，而对于最先进的超级计算机，完成此任务需要大约10,000年。³另一项使用光子量子处理器的实验表明，在仅36微秒内解决了一项任务，而最佳可用算法和超级计算机需要超过9,000年。

³围绕该实验存在争议。

量子计算平台

回想一下，任何二能级量子系统都可以作为量子比特，无论是自然的（如离子和原子）还是人工的（如超导电路）。然而，除非它们的量子态可以被控制和读出，否则这些量子比特没有用。因此，第一步是建立捕获机制，使用外部或内部捕获机制将量子比特保持在适当位置。外部捕获（如离子或中性原子捕获）可以捕获离子和中性原子，而在其他情况下（如AlGaAs异质结构中的自旋量子比特），量子比特通过材料或电路工程进行内部捕获。建立捕获后，必须开发控制和测量机制。根据量子比特类型，激光、微波和磁场用于量子比特的控制和读出。

第2.3.1-2.3.3节简要回顾了几种量子比特平台，包括捕获原子和离子、自旋量子比特、超导量子比特和拓扑量子比特。

离子

离子，如镱离子，是可以用作量子比特的自然发生的量子系统。在捕获过程中，使用激光提取电子，导致原子具有正电荷和单个价电子。由于离子是带电原子，它们可以使用电场进行控制和捕获。具有适当电压的工程电极系统产生将离子固定在适当位置的电力。第一个离子捕获器由沃尔夫冈·保罗在20世纪50年代开发，此后演变为现代平面捕获器，如线性离子捕获器（见图2.8）。激光用于执行量子信息处理的所有方面，从初始准备到最终读出。

中性原子

中性原子也可以作为量子比特，铷原子是常见选择，因为其技术解决方案（特别是在激光方面）已经完善[18]。由于中性原子不带电荷，捕获它们更具挑战性。各种激光冷却和捕获技术（如磁光阱（MOT）和多普勒冷却）可以捕获中性原子集合。光学镊子从集合中分离单个原子，以在小真空室中创建原子阵列（见图2.9）。通过精确控制每个原子核的自旋可以创建量子比特。通过将原子泵入里德伯态使用光来创建邻居之间的纠缠。

自然发生的量子比特（如离子和中性原子）不需要大型稀释冰箱和复杂的布线。另一方面，半导体量子比特（自旋、超导和拓扑）需要低温环境和具有挑战性的布线，如第2.3.3节所述。然而，半导体量子比特具有优势，如利用已建立的半导体制造方法，这些方法已用于制造电子设备。

半导体量子比特

半导体量子比特是通过半导体制造技术创建的合成量子比特。第2.3.3.1-2.3.3.3节讨论了三种类型的半导体量子比特：自旋、超导和拓扑。

这些量子电路对噪声极其敏感。由于噪声的很大一部分与温度成正比，我们将这些电路放置在称为稀释冰箱的冷环境中，以最小化耦合到这些电路的噪声。

自旋量子比特

电子自旋是自然发生的二能级系统，可以作为量子比特。创建自旋量子比特涉及使用二维电子气（2DEG）。通过塑造能带结构创建势阱，以捕获由金属表面栅极定义的静电势中的单个电子（见图2.10）。温度必须降低到4K以下，以将电子限制在该阱内，否则未抑制的热能可以向阱中添加或从中移除电子。因此，自旋量子比特处理器保持在稀释冰箱中。

通常，量子比特操作可以通过电或磁激发执行。量子比特状态通过执行自旋到电荷转换来读出，这仅允许自旋向上的电子从量子点隧穿出去。电荷传感器用于测量阱的电子占据，间接确定电子自旋和量子比特状态[19]。

超导量子比特

超导量子比特使用固态超导电路实现，电荷和磁通量子比特是两种主要类型。第3章展示了超导电路如何创建具有可调参数的人工原子，包括量子态之间的跃迁频率。

微波脉冲控制量子比特的状态，而读出过程使用腔量子电动力学（CQED）的概念。在CQED中，通过检查耦合到量子比特的谐振器电路中的频率移动来确定量子比特的状态[6]。图2.11说明了耦合到平面微波谐振器的超导量子比特。

让我们探讨使用微波频率进行超导量子比特的基本原理。考虑基态和激发态之间的能量差相对较低的情况，允许冰箱中存在的热能使量子比特从基态跃迁到第一激发态。这种不受控的热跃迁是不可取的，因为我们寻求对量子比特状态的精确外部控制。

现在，让我们进行粗略计算，以确定标准稀释冰箱中与热能相关的频率。热能E_th表示为玻尔兹曼常数（k_B）乘以温度（T）：E_th=k_BT。与此热能对应的频率（f_th）由f_th=k_BT/h给出。

典型的稀释冰箱可以达到20mK的温度，对应于f_th=0.4GHz的频率。为了最小化从基态到量子比特激发态的热激发发生，与外部场相关的跃迁能量（E₀₁）必须显著高于热能（即E₀₁≫E_th）。所谓”显著更高”，我们指至少大10倍，这导致跃迁频率f₀₁=10f_th=4GHz。

大多数电荷量子比特（如transmon）在4-8GHz的微波频率范围内工作。微波频率特别有吸引力，因为它们足够高，可以利用标准低温技术和电信行业中常用的成熟微波组件和技术。虽然更高频率可能提供某些优势，但它们在组件成本、设计复杂性和制造能力方面带来挑战。

拓扑量子比特

拓扑量子比特也是使用与自旋和超导量子比特类似的光刻技术制造的合成量子比特。拓扑量子比特的主要优势是其对退相干的固有免疫性。由于不需要主动纠错，所需的物理量子比特远少于其他类型，允许物理拓扑量子比特执行与逻辑量子比特相同的功能。

拓扑量子比特基于称为非阿贝尔任意子的涌现粒子和理想情况下产生完美量子门的编织操作运行（见图2.12(a)）[20]。非阿贝尔任意子的一个例子是马约拉纳粒子，它出现在混合超导体-半导体系统中，如拓扑绝缘体衬底上的超导体（见图2.12(b)）。在撰写本文时，尚未创建拓扑量子比特，尽管一些工作已证明马约拉纳粒子的存在[21]。

量子计算中的挑战与机遇

量子计算机不再是科幻小说；用户现在可以在线编程量子计算机。然而，大多数专家认为，量子计算机距离完成人们最终期望的任务至少还有十年时间。必须构建具有数千或数百万量子比特的量子计算机，以实现解决复杂实际问题所需的计算能力。所有量子比特技术都面临相同的主要技术挑战：扩展问题。即使特定平台看起来比其他平台更容易扩展，目前仍不清楚哪种技术或哪些技术最终将成功扩展。虽然量子计算充满希望，但设定现实的目标和期望很重要。

第2.4.1-2.4.2节讨论与扩展相关的技术挑战，并探讨量子硬件工程师所需的必要技能集。

扩展的技术挑战

目前最先进的量子计算机可以运行多达几百个量子比特。然而，需要数量级的扩展才能充分实现量子计算机的潜力。回想一下，每个量子计算平台都有独特的特征和操作要求。无论量子比特类型如何，扩展问题目前影响所有平台。第2.4.1.1-2.4.1.5节讨论半导体量子比特扩展的技术挑战。

噪声和串扰

与通信系统一样，量子比特系统容易受到各种损害的影响，包括串扰和噪声。让我们分别检查这些效应。首先，量子比特容易受到环境噪声的影响，如杂散电磁场、宇宙辐射或热波动。噪声还可以通过从环境温度进入稀释冰箱的控制和读出线耦合到量子比特。随着量子比特数量的增加，需要更多的控制和读出线，通过扩大噪声耦合到系统的横截面来增加耦合到系统的噪声量。

其次，串扰以控制线和读出线之间的电感或电容耦合的形式也可能降低量子比特保真度并导致多个量子比特之间的相关错误。虽然这些错误是确定性的并且可以消除，但它们给量子处理器的操作增加了显著的复杂性。

输入/输出（IO）管理

虽然经典计算机可以对单个逻辑门有多个输入和输出，受Rent规则支配的扇入/扇出数量，但量子计算机不享受这种奢侈。在量子计算中，不同IO信号的数量必须至少与量子比特的数量一样大。这是由于量子力学中的”不可克隆”定理，该定理确立了创建量子态精确副本的不可能性。因此，单个量子门不能产生多个输出。有效管理IO挑战需要设计适当的互连、布线和封装，以及开发时间、空间和频率复用策略。

另一个关键考虑是自旋量子比特和拓扑量子比特所需的磁体孔径直径，它们需要强磁场。这对量子比特的密度施加了额外的约束。

热量和功耗

随着量子比特数量的增加，需要连接到冰箱的控制线数量也随之增加。尽管在冰箱内部（例如4K）有控制接口，但这些线必须到达毫开尔文温度的量子比特。如第7.4.3.1节所讨论，衰减器有助于最小化耦合到量子比特的热噪声。然而，当信号通过这些衰减器时，会产生热量，需要有效地从稀释冰箱中移除。

管理这种散热可能成为一个重大挑战，特别是在处理数十万个量子比特时。

虽然量子比特（如超导量子比特）在理论上是零耗散的，但量子比特的实际操作会产生热量。因此，除了线产生的热量外，量子比特在操作期间释放热量，必须从冰箱中移除。这具有挑战性，因为量子比特所在的毫开尔文温度的冷却功率极低，通常在几毫瓦范围内。为了解决这个问题，研究人员开发了在1K以上运行的热自旋量子比特系统，通过提供瓦和千瓦范围内更高的冷却功率显著促进冷却过程[23]。然而，超导量子比特仍需要在毫开尔文温度下运行。

系统大小

随着量子比特数量的增加，系统大小将不可避免地扩大。因此，有必要设计最小化系统大小并改善信号完整性和功耗的集成架构。让我们研究一下系统布线不良时会发生什么。

当使用具有不同路径长度的长传输线时，线之间存在显著的相移。这使得控制信号的同步变得困难，特别是对于使用微波信号的精确相位和幅度来操纵量子比特状态的量子比特。虽然这种效应可以校准掉，但对于宽带信号来说变得具有挑战性，其中频谱内容可能受第4章讨论的色散和线间互耦等参数的影响。

受系统大小影响的第二个变量是控制信号到达冰箱最低部分量子比特的传播时间。典型的传播时间在几十纳秒量级，与量子比特门时间相当，但比通常在几百纳秒或更长时间范围内的典型读出时间短得多。

压摆率、上升时间和带宽

如第4章所讨论，需要足够的带宽以确保控制脉冲的形状不失真。第7章描述了使用衰减器来降低热噪声，信号在通过线并到达量子比特时被衰减50-60dB。这种情况要求发生器在伏特范围内创建信号，以在量子比特位置实现毫伏幅度和皮秒上升时间。这反过来需要显著增加耦合到量子比特噪声的放大器。将这种分布式解决方案与片上解决方案进行比较，很明显，标准集成CMOS电路可以轻松实现小于十皮秒的毫伏脉冲上升时间。与运算放大器电路一样，片上压摆率由晶体管的RC时间常数决定。

如第7章所讨论，科学家提出了一种基于Cryo-CMOS的可扩展控制方法来解决这些问题。这种集成解决方案使用冰箱内的低温芯片来替代室温控制和测量电子设备。

量子硬件工程师的技能集

量子劳动力发展是一项具有挑战性的任务，需要工业界和学术界的共同努力，以培训新劳动力或重新培训现有劳动力，从而解决量子行业对熟练专业人员的需求[24]。本节研究从事半导体量子比特（如超导、自旋和拓扑量子比特）工作的量子硬件工程师所需的技能集，使他们能够专注于对其技术职业生涯成功影响最大的技能。量子硬件工程师在从事半导体量子计算机工作时必须在四个领域熟练：纳米制造、低温技术、微波技术和数据采集与测量；第2.4.2.1-2.4.2.4节讨论这些技能。

低温工程

半导体量子比特实验需要在接近绝对零度的极低温度下运行，通常在10-50mK左右，以抑制可能导致量子比特脆弱量子态退相干的噪声。因此，了解稀释冰箱的组件和功能至关重要，稀释冰箱为量子比特提供冷而隔离的环境。第8章讨论稀释冰箱的原理。

从事半导体量子比特工作的量子工程师的主要任务之一是识别和减轻噪声可以耦合到量子比特的路径。这些路径可以是传导或辐射的，需要使用滤波器、环行器、衰减器、屏蔽和损耗微波电缆等不同的噪声和干扰阻断技术。第6章和第7章讨论这些技术。

微波工程

半导体量子比特的测量和控制发生在射频和微波频率。因此，从事这些工作的工程师必须对低温和室温微波组件和系统有扎实的理解。这包括放大器、混频器、滤波器、功率合成器、衰减器以及上下变频器。该领域所需的知识可分为以下三个主要类别：

  • 噪声抑制技术；
  • 使用测量仪器（如网络分析仪和频谱分析仪）进行组件级、系统级和量子比特测量；
  • 微波信号处理技术，包括放大、下变频、上变频和滤波。这些技术对于通过向冰箱发送适当的调制信号来控制和测量量子比特以及从冰箱下变频信号以进行数字处理至关重要。

第4章和第5章涵盖微波系统和组件的基础知识。

纳米制造

制造高质量量子比特需要工程师熟悉光刻技术（如电子束光刻）和金属沉积技术（如溅射或热蒸发）。第3章简要讨论超导量子比特的制造。

数据采集

半导体量子比特实验链的最后阶段涉及与各种机器的通信、它们的同步以及测量数据的采集。采集的数据被发送到计算机进行后处理。因此，量子工程师必须熟悉各种通信协议，如串行通信、GPIB、TCP/IP和USB。此外，他们必须熟练使用MATLAB、Python、QCoDeS、pyCQED、qKIT和Labber等软件工具进行数据采集和控制实验。

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