超导量子比特
“任务不是去看从未见过的东西，而是去思考每天看到的事物中从未被思考过的东西。”
——埃尔温·薛定谔
本章探讨超导量子比特，特别关注transmon量子比特。第3.1节简要介绍超导性。第3.2节涵盖transmon量子比特的分析、设计和性能指标。第3.3节和第3.4节深入探讨使用微波脉冲和腔量子电动力学（CQED）的单量子比特控制和读出，并将这些概念扩展到双量子比特门。最后，第3.5节和第3.6节通过研究量子比特校准性能测试（如随机基准测试）来结束本章。
超导性简介
1911年，海克·卡末林·昂内斯发现了超导性。他观察到，当汞冷却到低于某个称为临界温度Tc的温度时，其电阻下降到与零无法区分的值，如图3.1(a)所示。
超导性，也称为带电超流性，是一种迷人的量子力学现象，表现出以下宏观特性[1-3]：
零电阻
当冷却到低于称为临界温度Tc的某个温度时[如图3.1(a)所示]，超导体的电阻下降到与零无法区分的值，导致无耗散电流流动。第3.1.1节探讨了这种超电流如何由库珀对携带，库珀对是由电子与晶格之间的吸引相互作用形成的。
迈斯纳效应
超导体不仅仅是完美导体；它具有称为迈斯纳效应的独特性质。这种效应使超导体从其内部排出磁场，可以使磁体悬浮，并用于超高速列车[图3.1(b)]。对于完美导体，磁场的时间变化率为零（即dB/dt = 0）。这意味着内部磁场必须随时间保持恒定，但可以为零或非零值，如图3.2(a)所示。如果没有初始磁场，当对完美导体施加磁场时，内部磁场保持为零。如果最初存在磁场，在转变为完美导体后，磁场仍保留在样品内部。
如图3.2(b)所示，与完美导体不同，超导体的场冷会导致磁通排出。这种排出是由于楞次定律引起的，楞次定律导致感应循环电流的产生，这些电流阻碍导体内部磁场的发展。这种独特特性称为抗磁性，超导体表现出完美抗磁性，因为感应电流可以以任何必要的幅度存在以抵消外部场。
图3.2(c)说明了x > 0处的超导体，从真空x < 0施加弱外部磁场B0于z方向。超导体内部的磁场由B(x) = B0exp(-x/λL)给出，其中λL是伦敦穿透深度。由于迈斯纳效应，磁场B0穿透到超导体中的距离很小，称为伦敦穿透深度λL。在λL的距离上，磁场变为超导体表面磁场值的1/e。在表面流动的屏蔽电流在超导体内部产生磁化M，完美补偿了施加的场H，导致超导体内部B = 0。伦敦穿透深度由下式给出：
$$\lambda_L = \sqrt{\frac{m}{\mu_0 n e^2}}$$
对于质量为m、超导电子密度为n、电荷为e的载流子。λL的典型值范围为50至500 nm。
磁通量子化
虽然磁场通常不能穿透超导体，但它可以穿透超导体内部的孔洞（见图3.3）。然而，通过孔洞的磁通必须是量子化的，意味着它只能取离散值。
超导体中磁场存在时的正则动量p由p = ħ∇θ = eΛJs + eA给出，其中θ是库珀对集合的宏观波函数的相位ψ = |ψ(r)|e^(iθ(r))，Js是库珀对电流密度，e是电子电荷，A是磁矢量势，Λ由Λ = m*/ns(e)^2给出，其中有效质量和电荷分别为m* = 2me和e* = -2e，n*s是配对密度[1,2]。
对图3.3所示的闭合路径取正则动量的线积分，结果为：
$$\oint \mathbf{p} \cdot d\mathbf{l} = \hbar \oint \nabla\theta \cdot d\mathbf{l} = e^* \oint \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l}$$
如果轮廓距离表面足够远（即远大于伦敦穿透深度），则Js = 0。相位梯度的线积分为∮∇θ·dl = θ2 - θ1。我们知道波函数必须是单值的。因此，闭合轮廓的相位差是2π的整数倍：
$$\hbar \oint \nabla\theta \cdot d\mathbf{l} = 2\pi n\hbar = e^* \oint \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l}$$
使用斯托克斯定理，可以将A的线积分表示为∇×A的面积分。此外，我们从麦克斯韦方程知道∇×A = B。因此，我们有：
$$e^* \oint \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l} = e^* \int_S (\nabla \times \mathbf{A}) \cdot d\mathbf{s} = e^* \int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{s} = e^* \Phi_S = 2\pi n\hbar$$
其中ΦS是轮廓C包围的总磁通。由于超导体体内部的磁通密度为零，ΦS表示通过孔洞的磁通。方程(3.4)导致：
$$\Phi_S = \frac{2n\pi\hbar}{e^*} = \frac{nh}{e^*}$$
因此，磁通量子定义为Φ0 = h/2e = 2.07×10^(-15) Wb。
因此，对环施加磁通会修改环周围宏观波函数的相位。然而，只有某些磁通值才能使相位在完整转一圈后回到初始值。这些值是磁通量子Φ0的整数倍。超导量子干涉器件（SQUID）是一种具有超导导线环的超灵敏磁强计，可以检测磁通量子的变化。SQUID也用于超导量子比特，如第3.1.3节所讨论。
库珀对
1957年，巴丁、库珀和施里弗发展了BCS理论，该理论描述了超导性的微观机制[4]。金兹堡-朗道和博戈柳博夫也为超导性的成功理论做出了贡献。
超导性的机制可以用库珀对来描述，库珀对是由电子-晶格相互作用产生的吸引力形成的电子对。超电流由电子对而不是单个电子携带。现在让我们检查库珀对是如何形成的。
图3.4(a)显示了超导材料原子位点的示意图，其中每个圆圈对应一个带正电的原子。每个原子已经贡献了一个可以在原子位点之间自由移动的自由电子，通过正常电子传导。这个在晶格中移动的自由电子吸引带正电的原子。由于局部正电荷密度的增加，另一个具有相反自旋的自由电子被吸引到这个区域，形成库珀对。因此，库珀对由两个具有相反自旋和动量的电子组成。单个库珀对的结合能极弱。
现在，让我们检查多个库珀对的行为以及它们如何集体作用。虽然单个电子是费米子，受泡利不相容原理约束，这意味着每个能级只能容纳两个具有相反自旋的电子，但库珀对是玻色子，不遵循不相容原理。费米面附近的电子配对降低了超导体的能量并形成激发能隙。此外，由于这个能隙，所有对（以及电子）都表现为具有明确振幅和相位的单个宏观波函数，如ψ = |ψ|e^(iθ)所示。库珀对的密度由|ψ|^2给出，θ是凝聚体的相位。可以看出，所有对具有相同的振幅和相位（即对锁定相位并同步移动）。因此，没有其他电子的散射导致零电阻。
超导性发生在称为临界温度的特定温度以下，这可以通过冷却样品使晶格振动最小化并降低电子从原子散射并破坏库珀对的概率来解释。
图3.4(b)描绘了正常金属和超导金属的能带图。在正常金属中，所有能态都被填充到费米能级，由μ1表示。另一方面，在超导部分，库珀对在费米能级处的能隙内凝聚，由μ2表示。在费米能级和能隙以下，所有单电子态都被占据，而能隙以上有空的单电子态。单电子态的密度在能隙两侧的所谓BCS耳朵处达到峰值，然后随着远离能隙而衰减。在能隙内不允许单电子存在能态，这保护了库珀对，其能量能隙等于破坏一对所需的能量。
让我们检查从正常金属到超导电极的隧穿效应。对于单电子隧穿到超导电极，正常金属的费米能必须被提升到超导能隙以上，使单电子能够隧穿到空态。在这种情况下，电流从正常导体流向超导体。正常-超导（N-S）结的理论I-V特性如图3.5(a)所示。图3.5(b)中的N-S结表明，I-V曲线在每一点的导数（即dI/dV）提供了态密度[1-3]。通过改变栅极电压，改变了超导体的可及态，并重建了能带图。
BCS理论预测，能隙Δ在温度T时的值取决于临界温度[公式1]。零温度时能隙值与超导转变温度Tc（以能量单位表示）的比值取以下普适值，对于没有强电子-声子相互作用的材料，该值与材料无关：
$$\Delta(T=0) = 1.76 k_B T_c$$
这个能隙约为100 μV/K。因此，Tc = 1.2 K的铝具有120 μV的能隙，Tc = 7 K的铌具有约1 meV的能隙。
在临界温度附近，根据金兹堡-朗道理论，能隙等于[1-3]：
$$\Delta(T \to T_c) \approx 3.06 k_B T_c \sqrt{1-\frac{T}{T_c}}$$
因此，随着温度升高，能隙缩小，对于高于临界温度的温度，能隙完全消失，如图3.5(c)所示。
超导体的相干长度是指超导电性持续的距离，测量库珀对的大小，通常约为1 μm。换句话说，它是超导态衰减到正常态的长度，库珀对的密度，或等效地|ψ|^2，逐渐减小。从超导到正常的转变发生在与相干长度相关的厚度上，如图3.6所示。BCS相干长度ξBCS由下式给出：
$$\xi_{BCS} = \frac{\hbar v_f}{\pi \Delta}$$
它决定了库珀对的特征大小，其中vf是费米速度，Δ是超导能隙参数。
比率κ = λ/ξ，其中λ是伦敦穿透深度，称为金兹堡-朗道参数。I型超导体是0 < κ < 1/2的那些，II型超导体是κ > 1/2的那些。图3.6显示了基于金兹堡-朗道参数的I型和II型超导体。第3.1.2节研究了I型和II型超导体。
超导体的类型
超导体可以排出外部磁场到一定场强，超过该强度其超导性被破坏。因此，除了临界温度外，还为超导体定义了临界磁场Bc。超导体根据它们对高于临界磁场的外部磁场的反应进行分类[公式5]。临界磁场与温度密切相关，根据金兹堡-朗道理论，对于低于临界温度Tc的温度，由下式给出[1-3]：
$$B_c \approx B_c(0)\left(1-\frac{T}{T_c}\right)^2$$
其中Bc(0)是零开尔文时的临界磁场。临界磁场随着温度升高而降低，根据(3.8)。换句话说，当超导体接近其正常态时，它能承受的磁场更小。
I型超导体在施加的磁场超过临界场Bc时，从超导态到正常态表现出急剧转变，如图3.7(a)所示。这称为一级相变。这些材料通常是元素金属，如汞、铅和铝，或合金，如铌-锗和铌-钛。这些材料具有相对较低的临界温度，通常低于10 K，并表现出弱耦合行为，这意味着库珀对与晶格之间的相互作用相对较弱。因此，I型超导体具有相对较低的临界磁场，外部磁场或热波动可以迅速抑制其超导特性。尽管如此，I型超导体仍用于各种应用，包括构建用于医学成像、粒子加速器的超导磁体，以及超导器件，如SQUID和量子比特。
II型超导体在体相中具有更高的临界温度，并由于库珀对与晶格之间的更强相互作用而表现出强耦合行为。如图3.7(b)所示，II型超导体有两个临界磁场，Bc1和Bc2。
当施加的磁场增加到超过Bc1时，形成混合态，其中超导相和正常相共存。在Bc1以上，施加的磁场以涡旋形式穿透材料，每个涡旋携带量子化的磁通。屏蔽超电流在涡旋核的λL附近循环，以屏蔽超导体其余部分免受涡旋磁场的影响。涡旋核的直径与超导相干长度ξ的数量级相同。图3.7(c,d)显示了涡旋，其中正常材料区域被超导材料包围。随着温度升高，正常核变得更加紧密堆积并最终重叠，导致超导态的丧失。
超过第二个临界场强Bc2会导致超导性的完全破坏，如图3.7(b)所示。
几乎所有不纯和化合物超导体都是II型。注意，由于临界磁场的存在，超导导线中可以承载的最大电流是有限的，因为电流根据安培定律产生磁场。
约瑟夫森结
布莱恩·约瑟夫森于1962年首次提出约瑟夫森结。它是最重要的电路元件之一，应用于高速数字电路、微波放大器（约瑟夫森参量放大器）和量子计算（量子比特）。
约瑟夫森结是一种超导电路元件，由两个被薄绝缘层隔开的超导电极组成，如图3.8(a)所示。约瑟夫森结的等效电路如图3.8(a)所示。铝电极广泛用于量子计算应用。在通过热蒸发沉积第一铝电极后，我们允许绝缘氧化物层在其顶部生长。然后，沉积第二铝层，如图3.8(b)所示。
在约瑟夫森结中，库珀对可以相干地隧穿绝缘势垒，产生由下式给出的超电流I：
$$I = I_c \sin(\phi(t))$$
其中Ic是临界电流（即结在进入正常态之前可以支持的最大超电流），φ(t)是结两端的时变相位差[5]。一旦超过临界电流，正常的单电子隧穿就变得占主导地位。
结两端的相位差在有电势V存在时随时间演化（即ħ(dφ/dt) = 2eV）。现在，通过对前面给出的约瑟夫森电流取时间导数，我们得到：
$$\frac{dI}{dt} = I_c \cos(\phi)\dot{\phi} = \frac{2eV}{\hbar}I_c \cos(\phi)$$
约瑟夫森电感LJ可以使用法拉第定律V = -LJ(dI/dt)找到，为LJ = Φ0/(2πIc cos φ) = L(0)/cos φ，其中Φ0 = h/e是磁通量子，L(0) = Φ0/(2πIc)是零偏置时的电感[5]。这种非线性电感与并联电容器构成非谐振子，作为各种超导量子比特拓扑的基础[56]。
可以使用法拉第定律计算约瑟夫森能。假设约瑟夫森相位在时间t1为φ1，在时间t2为φ2，能量变化可以计算为：
$$\Delta E = \int_{t_1}^{t_2} IV dt = \int_{1}^{2} I d\Phi = \int_{\varphi_1}^{\varphi_2} I_c \sin\varphi d\left(\Phi_0\frac{\varphi}{2\pi}\right) = -\frac{\Phi_0 I_c}{2\pi}\Delta\cos\varphi$$
因此，存储在约瑟夫森结中的能量可以被认为是仅取决于结初始和最终状态的状态函数。该能量定义为：
$$E(\varphi) = -\frac{\Phi_0 I_c}{2\pi}\cos\varphi = -E_{J\max}\cos\varphi$$
EJmax = Φ0Ic/2π称为约瑟夫森能，它与约瑟夫森电感的关系为EJmax = L(0)Ic^2。
注意，虽然线圈将能量存储在通过它的电流产生的磁场中，但约瑟夫森结不会从超电流产生磁场。相反，它将能量存储在载流子的动能中。约瑟夫森结的参数可以通过测量室温下的结电阻Rn来确定（例如，使用四端测量）。临界电流显示温度依赖性，可以使用下式确定[6]：
$$I_c = \frac{\pi\Delta(T)}{2eR_n}\tanh\left(\frac{\Delta(T)}{2k_BT}\right)$$
其中Δ(T)是由(3.6)给出的超导能隙。对于T→0，关系可以简化为Ic = πΔ(0)/2eRn，其中Δ(0) = 1.76kBTc。因此，具有材料的临界温度和正常态结电阻可以计算临界电流。
约瑟夫森能也可以使用正常态电阻计算。我们定义电阻量子为Rq = h/4e^2 ≈ 6,453.20 Ω，约瑟夫森能也由EJmax = (Rq/Rn)(Δ(0)/2)给出。
SQUID使用并联的两个约瑟夫森结，如图3.8(c,d)所示。通过施加产生磁通φ的外部磁场，可以调谐SQUID的约瑟夫森能。然后，SQUID的约瑟夫森能可以表示为：
$$E_J(\phi) = E_{J\max}\left|\cos\frac{\pi\phi}{\phi_0}\right|$$
约瑟夫森结的非线性和约瑟夫森能的可调性是将约瑟夫森结用作量子比特（人工原子）构建块的基本特征。这种可调性使得能够调整量子比特的跃迁频率，从而通过利用外部磁通偏置线执行特定的量子比特门。第3.2节解释了如何使用约瑟夫森结构建人工原子。
超导量子比特
本节回顾与库珀对盒和transmon量子比特相关的概念。接下来，在本节中，我们将研究量子比特-环境相互作用如何导致退相干，并探索相应的时间尺度和退相干源。
人工原子
量子化是量子力学的基本结果，量子系统只能响应特定能量E，或等效地，特定频率（E = hf），其中频率f与系统两个能级之间的跃迁能量E相关。原子本身是量子系统，可以被概念化为仅对特定频率做出响应的精细调谐接收器[见图3.9(a)]。这些独特频率充当每个原子的指纹，可用于识别目的。氢原子的跃迁频率如图3.9(b)所示。
如图3.9(b)所示，氢原子中的每个跃迁对应于特定频率或波长的光子发射。这是由于原子的非等距能级。如第1章所讨论，非谐量子振子可用于模拟这种行为，与量子谐振子相反，它具有非等距能级。非谐性对于控制能级之间的跃迁至关重要，因为没有它，具有宽谱的单一频率脉冲可能导致对许多态的激发，因此电路不会表现出量子比特的门操作。隔离非谐振子的前两个能级允许它们用作量子比特。
自然原子用于各种量子计算平台，包括原子和离子量子比特，如第2章所讨论。然而，自然原子的性质，如跃迁频率，无法调谐。为了模拟人工原子，我们需要一个模拟具有非等距能级的非谐振子的系统。如第1章所观察，并联LC电路可以被量化并用作量子谐振子。通过引入非线性，我们可以将LC电路转换为非谐振子。这就是具有非线性电感的约瑟夫森结的相关之处。图3.9(c,d)提供了由电气元件构建的谐振子和非谐振子之间的比较。
由于约瑟夫森结是超导元件，我们必须使用冰箱将这些电路冷却到其临界温度以下。此外，如第2章所讨论，这些量子电路对噪声极其敏感。由于噪声的很大一部分与温度相关，这些电路被放置在冰箱中以最小化耦合到它们的噪声。第8章讨论了稀释冰箱的操作。
通过设计超导电路或量子比特，我们可以调整其参数以设置跃迁频率。然而，如果基态（对应于|0⟩）和第一激发态（对应于|1⟩）之间的能隙太小，稀释冰箱内的热能可能导致这些态之间的不期望跃迁。为了确保对量子比特的外部控制，我们必须设计具有足够高跃迁能量的量子比特。
让我们粗略计算标准稀释冰箱中与热能相关的频率。热能Eth等于玻尔兹曼常数乘以温度，与该能量相关的频率等于普朗克常数乘以频率：Eth = kBT = hfth。标准稀释冰箱可以达到20 mK的温度，对应于fth = 0.4 GHz的频率。为了确保从基态到量子比特激发态的热激发很少发生，对应于外部场的跃迁能量需要远高于热能（即E01 ≫ Eth）。这导致跃迁频率f01 = 10fth = 4 GHz。许多电荷量子比特，如transmon，在4-8 GHz的微波频率范围内工作。以下特性使微波频率具有优势：
- 如我们所展示的，这些频率足够高，可以使用已知的低温技术。
- 可以使用商用微波组件和众所周知的微波技术。
虽然提高频率可以有一些优势，但它会导致与组件成本、设计复杂性和制造能力相关的严重问题。
库珀对盒
本节研究库珀对盒（CPB）电荷量子比特。回想一下，约瑟夫森结可以被建模为与结的电容并联的电感器[公式6]。如图3.10(a)所示，约瑟夫森结的电极，称为超导岛和超导库，由于约瑟夫森效应允许库珀对的相干隧穿。为了操纵岛上的电荷数量，电压源通过Cg电容耦合，利用库仑阻塞隧穿效应（见图3.10）。栅极电压可以调整岛上的能级，允许库珀对跳跃到岛上或从岛上跳跃，导致库珀对隧穿。CPB量子比特的基态主要由 residing 在岛上的库珀对数量决定。
接下来，让我们检查CPB的本征能量和本征态。CPB的哈密顿量包括添加库珀对所需的充电能和结的耦合能或约瑟夫森能。哈密顿量由下式给出[7]：
$$\hat{H} = \frac{\hat{Q}^2}{2C} + \frac{\hat{\Phi}^2}{2L} = \frac{\hat{Q}^2}{2C} - E_J\cos\left(\frac{2\pi\hat{\Phi}}{\Phi_0}\right) = \frac{(2e\hat{n})^2}{2C} - E_J\cos\hat{\phi} = 4E_C\hat{n}^2 - E_J\cos\hat{\phi}$$
其中电荷算符Q̂与库珀对数算符n̂的关系为Q̂ = -(2e)n̂，φ̂与磁通算符Φ̂相关，EJ = IcΦ0/2π。总电容C是栅极电容Cg和结电容CJ的和（即C = Cg + CJ）。包括来自栅极的电荷数ng，结果为H = 4EC(n̂ - ng)^2 - EJ cos φ̂。
通过比较电气和机械量子谐振子（见第1章），我们观察到电荷和相位算符类似于位置和动量算符。具体来说，相位算符可以被描述为位置算符，而电荷数算符可以被描述为动量算符，如(3.15)所示：
$$\hat{n} \to -i\frac{\partial}{\partial\phi} \quad (\hat{p} \to -i\hbar\frac{\partial}{\partial x})$$
这些共轭变量的对易关系为[φ̂, n̂] = -i。
为了找到与该哈密顿量对应的波函数和能量，我们需要求解具有能量Ek和波函数|ψk⟩满足Ĥ|ψk⟩ = Ek|ψk⟩的本征值问题。在相位基中工作φ̂|φ⟩ = φ|φ⟩，我们需要求解：
$$\langle\phi|\hat{H}|\psi_k\rangle = E_k\langle\phi|\psi_k\rangle = E_k\psi_k(\phi)$$
在(3.26)中替换算符后，我们得到：
$$\left[4E_C\left(-i\frac{\partial}{\partial\phi}-n_g\right)^2 - E_J\cos\phi\right]\psi_k(\phi) = E_k\psi_k(\phi)$$
这等价于马蒂厄方程，其解用同名函数表示。在图3.11(a)中，显示了CPB的前三个能级作为电荷偏移ng的函数，对于EJ/EC = 1。每个能级随电荷ng变化。图3.11(b)说明了前两个能级的两能级近似。值得注意的是，两个能级之间的跃迁频率不是恒定的；相反，它取决于栅极电荷ng。这一特性使量子比特对电荷波动高度敏感，例如由不完美电介质和界面中的隧穿电荷引起的波动，这些被称为两能级系统。因此，可能发生退相位（见第1.6.6.2节），因为能级没有明确定义，而是由电荷波动调制。减少CPB中电荷波动影响的一种方法是将量子比特运行在所谓的甜点，如图3.11(a)所示，其中dE/dQ最小。第3.2.3节表明，最小化能级对电荷波动敏感性的更好方法是控制EJ/EC比率。
Transmon量子比特
减少CPB能级对电荷波动敏感性的另一种方法是增加EJ/EC能量比率，以在transmon区域运行。如图3.12(a)所示，随着EJ/EC值的增加，能级对电荷变化变得不那么敏感。值得注意的是，当EJ/EC = 50时，能级变得几乎平坦。注意，要在transmon区域运行，EJ/EC比率必须在20到100之间，50是典型值。Transmon量子比特是由耶鲁大学的一组研究人员发明的[7]。术语”transmon”是”transmission line shunted plasma oscillation qubit”的缩写。
EJ/EC比率可以通过使用大电容器减小充电能EC = e^2/2C来增加。通常，叉指电容器与约瑟夫森结并联，如图3.12(b)所示。为了使跃迁频率可调，约瑟夫森结被SQUID取代。然后利用外部线圈或磁通偏置线来调整跃迁频率，如图3.12(c)所示。
量子比特的跃迁频率ω01与约瑟夫森结和电容器的特征能量EJ和EC的几何平均值直接成正比，如图3.12(d)所示[7]：
$$\omega_{01} \approx \sqrt{8E_JE_C} - E_C$$
通过设计电容器和约瑟夫森结的几何形状和参数，可以实现所需的跃迁频率，通常位于5-7 GHz范围内。使用SQUID允许通过外部磁场调整量子比特频率ωq，并调整Φ磁通：
$$\omega_q \approx \omega_{01}\sqrt{\cos\left(\frac{\pi\Phi}{\Phi_0}\right)}$$
在图3.12(e)中，可以观察到频率如何随磁通偏置变化。可以识别出磁通偏置的甜点，其中磁通变化对量子比特频率的影响最小。
在transmon区域运行显著降低了量子比特对可能导致退相干的电荷波动的敏感性。然而，电荷分散量化的对电荷波动的敏感性与量子比特的非谐性之间存在权衡。具体来说，随着EJ/EC比率增加以减少对电荷波动的敏感性，量子比特的非谐性降低。这导致能级变得几乎等距，影响量子比特能级的可寻址性。
现在，让我们看看EJ/EC对电荷分散和非谐性的影响。第m个能带的电荷分散εm定义为：
$$\varepsilon_m = E_m(n_g=0) - E_m(n_g=1)$$
对于EJ < EC的CPB，电荷分散为εm ≈ 4EC。对于EJ/EC ≫ 1，电荷分散指数减小，导致对电荷波动的敏感性指数降低，如[7]给出：
$$\varepsilon_m \approx (-1)^m \frac{E_C}{4^{2m+5}m!}\sqrt{\frac{2}{\pi}}\left(\frac{E_J}{2E_C}\right)^{m/2+3/4}e^{-\sqrt{8E_J/E_C}}$$
绝对非谐性α定义为从基态到第一激发态的跃迁E01与从第一到第二激发态的跃迁E12之间的能量差：
$$\alpha \equiv E_{12} - E_{01} \cong -E_C$$
零非谐性指的是具有等距能级的谐振子。回想一下，零非谐性会给两能级可寻址性带来问题。相对非谐性αr定义为：
$$\alpha_r \equiv \frac{\alpha}{E_{01}} = \frac{\alpha}{\hbar\omega_{01}} \cong -\sqrt{\frac{E_C}{8E_J}}$$
如(3.23)所示，EJ/EC比率也影响相对非谐性，如图3.12(f)所示。
与电荷分散相比，(3.23)给出的非谐性反映了EJ/EC的较弱代数依赖性。需要足够大的非谐性来防止量子比特操作激发系统中的其他跃迁。由于电荷分散和非谐性之间存在权衡，因此选择足够大的EJ/EC值以抑制电荷分散，但又足够小以具有足够的非谐性是至关重要的。
根据(3.23)，绝对非谐性由α = ħω01αr给出。带宽受限脉冲的频率扩展允许估计相应的最小脉冲持续时间为τp ~ |ω01αr|^(-1)。因此，非谐性限制了脉冲持续时间，从而限制了量子比特操作的速度。对于量子比特的相干控制，脉冲持续时间必须保持远小于T1和T2。大的非谐性导致短脉冲持续时间；然而，微波脉冲的长度不能显著短于10 ns。因此，对于10 ns的典型脉冲长度，需要最小非谐性|αr,min| ~ (τpω01)^(-1) ~ (10 ns × 2π × 5 GHz)^(-1) = 1/200π，对应于20 ≲ EJ/EC ≪ 5×10^4。这允许EJ/EC的大范围，具有对电荷噪声的指数降低敏感性，但对于量子比特操作具有足够大的非谐性[7]。
此外，通过增加EJ/EC比率，可以在不牺牲太多非谐性的情况下降低对电荷噪声的敏感性，从而显著改善退相位时间。
现在，让我们检查真实量子比特的一些数值。表3.1显示，在探针站测量的室温下结的电阻Rn决定了约瑟夫森能EJ，其范围为10-60 GHz。氧化时间、沉积厚度和结面积等参数决定了正常电阻[公式3]。因此，需要几次测试和来自制造的反馈来调整这些参数以达到所需的Rn，从而得到所需的约瑟夫森能。
图3.12(b)所示的叉指电容器用于构建transmon的电容，其中典型设计具有70 μm的指长、10 μm的指宽和10 μm的间隙。选择指的数量使得量子比特的长度约为300-400 μm。使用仿真软件确定总电容，包括叉指电容器的电容、与谐振器的耦合电容和其他寄生电容。使用模拟电容可以估计充电能EC。然后，量子比特的跃迁能量与电感和电容器特征能量的几何平均值成正比（即EJ和EC）。当使用SQUID时，可以使用外部磁通调谐量子比特的跃迁频率，如表3.1所示。
其他正在积极研究的超导量子比特类型包括RF-SQUID（通量量子比特的原型）和电流偏置结（相位量子比特的原型）；综述见[8,9]。
表3.1 Transmon量子比特设计公式总结
| 公式 | 范围 |
|---|---|
| Transmon区域 | EJ/EC ≫ 1 |
| 20 < EJ/EC < 100 | |
| 约瑟夫森能 10-60 GHz | Rn: 2-10 kΩ |
| 约瑟夫森结 | Δ(0) = 1.76 kBTc |
| 电阻量子 | Rq = h/4e² ≈ 6,453.20 Ω |
| Φ₀ = h/2e = 2.07 × 10⁻¹⁵ T·m² | |
| Rn是正常态电阻 | |
| EJmax = (Rq/Rn)(Δ(0)/2) | |
| Ic = πΔ(0)/2eRn | |
| LJ = Φ₀/2πIccos φ ≈ ħ²/4e²EJ | |
| CJ = 3-10 fF | |
| 充电能 | EC = e²/2Ct |
| Ct = CJ + CB + Cg | |
| 量子比特频率 | ω₀₁ ≈ 1/√(LJCt) ≈ √(8EJEC)/ħ |
| 使用SQUID | ωq ≈ ω₀₁√cos(πΦ/Φ₀) |
| 非谐性 | α = E₁₂ - E₀₁ ≈ -EC |
| αr = α/E₀₁ = -EC/√(8EJEC) |
使用光刻技术，如电子束光刻（EBL），来制造纳米级结构，如约瑟夫森结。制造完成后，芯片被放置在样品架中，并使用键合机将芯片上的微米级焊盘连接到样品架上的PCB走线，如图3.13所示。包含芯片的样品架然后被放置在稀释冰箱中，并冷却到10-20 mK之间的温度[10-12]。达到所需温度后，可以进行量子比特操作。
量子比特相干时间尺度
如第1章所讨论，量子比特与其周围环境的相互作用可以被理解为环境有效地测量量子比特，导致其相干叠加态的丧失，最终导致其波函数的坍缩。单量子比特的相干性由称为T1（纵向弛豫时间）和T2（横向弛豫时间）的”相干时间”来表征。这些T1和T2的概念借用自核磁共振（NMR）领域。
第3.2.4.3节讨论了各种退相干源以及如何最小化其影响。第7章进一步展示了噪声抑制技术的广泛使用，以减少量子比特与其环境之间的相互作用。然而，由于需要控制和读出访问，完全隔离量子比特是不可能的。虽然晶体管中的错误率为1/10²⁰，但对于量子比特，它要高得多。因此，如第2.2.6节所讨论，量子纠错对于量子计算是不可避免的。
纵向弛豫
量子比特经历与其环境的相互作用，导致量子比特激发和弛豫过程。在稀释冰箱的20 mK温度下，热激发被显著抑制，使我们能够主要关注弛豫过程。在布洛赫球表示上，弛豫被描绘为布洛赫矢量从|1⟩态到|0⟩态的跃迁。
量子力学与经典力学之间的基本区别之一在于真空的作用。在经典力学中，真空通常被认为是空空间，对物理系统没有影响。然而，在量子力学中，原子和其他量子系统由于真空量子涨落而与真空相互作用，这种相互作用在量子电动力学中具有核心意义。例如，高能态的原子最终会衰变到其基态。这种行为源于原子与真空中存在的辐射模式连续体的耦合，其中共振真空模式与原子的激发态相互作用，导致自发辐射现象。参见图3.14对该过程的可视化描述。
因此，与真空的共振模式相互作用导致弛豫。原子与连续体的非共振模式的相互作用导致兰姆位移，这会引起原子能级的微小修正。第3.3.2.3节涵盖了量子比特中的相同现象，其中量子比特的能级也由于与真空的相互作用而经历兰姆位移。
弛豫时间T1是量子比特从激发态|1⟩自发弛豫到基态|0⟩所需的平均时间。弛豫也称为退极化，源于NMR，其中外部磁场使样品极化并使自旋对齐。由于自旋与晶格的相互作用，极化衰减。
如图3.15所示，为了测量T1，我们使用π脉冲或等效的X门将量子比特带到激发态|1⟩。然后我们等待时间Δt并测量激发态的布居。我们想要测量800 μs的时间范围，时间步长为80 μs。然后我们激发量子比特，等待80 μs并报告返回|1⟩的测量百分比。
接下来，我们再次激发，等待160 μs，报告返回|1⟩的测量百分比，并对后续步骤重复此操作。对于每个点，最好重复测量并取平均值以提高准确性。T1可以通过使用以下拟合函数对测量点进行插值来提取，其中T1表示激发态布居达到其初始值的1/e的时间，C和D是常数。
$$x(t) = Ce^{-t/T_1} + D$$
横向弛豫
横向弛豫时间T2是纵向弛豫与速率Γ1和纯退相位与速率Γφ的组合。
首先，让我们看看纯退相位。如第1章所讨论，随机修改量子比特有效跃迁频率的过程导致退相位，这导致量子比特积累随机相位。退相位经常由远低于量子比特跃迁频率的低频噪声引起。如第1章所讨论，量子比特态在f10频率下绕Z轴进动；即，量子比特相位φ根据φ(t) = 2πf10t随时间推进。因此，持续时间为t的频率偏移δf产生相位偏移δφ = δft。因此，随时间的频率噪声（δf(t)）产生相位噪声（δφ）。当然，如果我们有恒定的频率偏移，我们可以改变或重新测量我们的裸频率并消除相位偏移。与能量弛豫不同，纯退相位可以由大范围的频率噪声引起。此外，在纯退相位期间，
不与环境交换能量；因此，可以通过应用幺正操作（例如，动态解耦脉冲）来逆转[10]。
任何能量弛豫过程也会以速率Γ1/2使量子比特退相位，因为叠加态的布洛赫矢量位于|0⟩和|1⟩态之间的中间位置。在这种弛豫事件后，相位信息会丢失，因为布洛赫矢量在弛豫后指向|0⟩极。因此，不再知道布洛赫矢量沿赤道指向哪个方向；因此，叠加态的相对相位丢失。
在单个实验期间（在一个衰减寿命期间）发生的短时间尺度上的涨落导致称为纯退相位速率Γφ的退相位。可以定义退相位品质因数Qφ = ωa/Γφ，这是量子比特积累随机π相位偏移之前的相干振荡次数。
发生在较长时间尺度上的涨落产生称为非均匀退相位速率Γ*φ的系综退相位。这最后一种类似于NMR中的空间磁场不均匀性，通常称为非均匀展宽。像其NMR对应物一样，理论上可以使用自旋回波技术来减少它，因为它不是系统固有的。虽然可以补偿非均匀展宽，但这样做会占用操作时间。
横向弛豫速率是上述所有速率的总和：
$$\Gamma_2 = \frac{\Gamma_1}{2} + \Gamma_\phi + \Gamma_\phi^*$$
进行两次测量以确定横向弛豫时间。图3.16显示了用于测量纯退相位时间的哈恩回波实验和用于测量非均匀退相位时间的拉姆齐实验。
如图3.16(a)所示，哈恩回波实验包括三个脉冲。通过绕y轴旋转Ry(π/2)将初始态|0⟩获得态|+⟩ = (|0⟩ + |1⟩)/√2。我们应用Δt/2的延迟，然后是绕y轴的π旋转。在没有退相位噪声的情况下，这将使态变为|-⟩ = (|0⟩ - |1⟩)/√2。再延迟Δt/2后，我们应用另一个Ry(π/2)旋转，在没有退相位的情况下，这将使态回到|0⟩。
如(3.24)所示，指数曲线拟合到实验数据，其中T2是适当的时间常数：
$$f(t) = Ae^{-t/T_2} + B$$
如图3.16(a)所示，曲线衰减到50%而不是零。原因是在延迟期间，叠加态也受T1弛豫的影响。如果态衰减到|0⟩，第二个π/2旋转将态带到|+⟩，导致测量|0⟩和|1⟩的相等概率。相比之下，|0⟩和|1⟩态对相位变化不敏感（它们位于极点，不能发生相位变化），因此退相位不会影响T1实验的结果。
拉姆齐实验如图3.16(b)所示。应用Xπ/2脉冲，故意通过δω从量子比特频率失谐，将量子比特带到赤道。这导致布洛赫矢量在旋转坐标系中以速率δω绕z轴进动。延迟时间T后，第二个Xπ/2脉冲用于将赤道上的布洛赫矢量投影到z轴。这显示在图3.16(b)中。振荡以近似指数衰减函数衰减，这给了我们T*2。图3.17显示了拉姆齐实验的布洛赫球图。
量子比特退相干源
量子比特的相干时间T1和T2受内部和外部源的影响。内部源包括捕获涡旋、准粒子隧穿和基于材料的两能级系统。另一方面，外部源包括寄生电场和磁场、栅极上的电压涨落、磁通涨落以及与光子、声子和环境电路模式的相互作用。此外，来自环境放射性材料和宇宙射线的电离辐射可以增加准粒子密度，从而限制超导量子比特的相干时间[13]。超导量子比特中的各种退相干通道及其对相干时间的影响概述于表3.2。
当温度高于零且偏置电压低于零温度下的导通阈值时（表明偏置电压小于
表3.2 量子比特退相干源及其对相干时间的影响
| 相干时间 | 描述 |
|---|---|
| T1 | |
| 自发辐射 | 从激发态弛豫到基态。 |
| 珀塞尔效应 | 将量子比特放置在腔中时自发辐射速率的修改。 |
| 介电损耗 | 基板的介电损耗导致量子比特的弛豫和退相位。非晶SiO₂的损耗角正切高达5×10⁻³[13]。晶体Si和蓝宝石提供有利的低损耗角正切（tanδ），在低温下数量级为10⁻⁶和10⁻⁸。 |
| 准粒子隧穿 | 单电子隧穿导致电子总数为奇数或库珀对的热破坏，导致量子比特的弛豫和退相位。 |
| 磁通耦合 | 外部磁通偏置允许调谐量子比特频率。它还打开了额外的能量弛豫通道。 |
| T2 | |
| 电荷噪声 | 电荷涨落导致量子比特退相位。 |
| 磁通噪声 | 外部施加磁通中的噪声转化为有效约瑟夫森耦合能EJ的涨落。 |
| 临界电流噪声 | 由于与隧穿结内部离子的空间重新构型相关的电荷捕获和去捕获产生的临界电流噪声引起的约瑟夫森能涨落。 |
| 准粒子隧穿 | 除了弛豫外，它还导致退相位。如果不以transmon区域运行，从岛上添加或移除单个电荷会 drastically 改变量子比特的跃迁频率。 |
| EC噪声 | 充电能或电路有效电容的涨落。没有证据表明这是transmon的限制因素。 |
| 与光子和声子的相互作用 | 宇宙射线。 |
| 捕获涡旋 |
图3.18显示了SIS结准粒子隧穿在温度T > 0时的情况。偏置电压低于T = 0时的导通阈值，eV = Δ₁ + Δ₂。（水平箭头描绘了涉及热激发电子或空穴的隧穿。）
先前已证明，理论上单电子不能隧穿进入超导能隙。然而，单粒子激发（称为准粒子）也可以隧穿约瑟夫森结，因为它们位于能隙之上。图3.18(b)说明了SIS结或约瑟夫森结的能带结构。在高于零的温度（T > 0）下，某些准粒子态可能存在于左电极能隙上方的未占据带中，以及右电极下方的一些空态中。这两种情况都导致单电子电流流过结。当需要稳定的量子数时，如电荷量子比特中的电荷数或拓扑量子比特中的宇称，不期望的单电子隧穿会引入错误。准粒子与相位自由度之间的相互作用为量子比特能量弛豫创造了不期望的途径[14]。
随着温度降低，准粒子布居指数减少。这是达到毫开尔文温度的另一个原因，这些温度显著低于超导金属的临界温度。然而，即使在这些低温下，仍然存在非平衡准粒子，导致弛豫效应。将准粒子远离量子比特的有源组件是提高器件性能的可行方法。已采用间隙工程或涡旋陷阱等方法，但对transmon量子比特证明无效。然而，正常金属陷阱对transmon量子比特证明有效。该概念涉及使用正常金属，如铜，在量子比特顶部，氧化物层充当它们之间的势垒，如图3.19(a)所示。如图3.19(b,c)所示，超导区域中的准粒子可以隧穿进入正常金属并被捕获在那里。它们通过声子发射或非弹性电子-电子散射耗散其能量[15]。
量子比特相干性改进策略
超导量子比特的相干时间可以通过各种策略来增强，包括：
- 通过更好的材料和制造技术改进量子比特本身；
- 通过滤波和屏蔽技术改进环境（在第7章讨论）；
- 通过使用高性能设备（如低相位噪声微波源）改进控制（见第7章）。
改进量子比特和最小化退相干影响的一些策略列出如下：
- 增强结和材料的特性以消除多余的1/f噪声源。
- 使用屏蔽和滤波来阻挡外部退相干源，如热噪声和电离辐射（见第8章）。
- 设计对特定退相干源敏感性降低的量子比特（例如，transmon设计）或在甜点运行量子比特，对电荷或磁通涨落具有最小敏感性。
- 利用设计和操作中的对称性来抵消不期望的影响。
- 使用动态方法，如自旋回波和几何操作，来抵消特定的退相干源。
量子比特退相干时间随年份的改进显示每十年约改进三个数量级。每个错误的操作次数也在十年内改进了四个数量级，达到10⁴，这是实施纠错的阈值。
量子比特控制和读出
我们已经观察到通过光刻创建人工原子或量子比特的过程。然而，仅仅拥有量子比特是不够的。控制布洛赫球上量子比特的状态并最终使用读出技术确定量子比特的状态至关重要。第3.3.1节和第3.3.2节深入探讨了如何使用腔量子电动力学（CQED）完成超导transmon量子比特的这两个操作——控制和读出，当在芯片上实现时也称为电路QED（cQED）。
为了实现这一点，理解量子比特与光之间的相互作用至关重要，因为这种相互作用对于控制和读出量子比特的状态至关重要。量子光学的许多原理，探索光-物质相互作用，可以直接应用于量子比特。第3.3.1节和第3.3.2节探讨了量子比特与自由空间电磁（EM）场、腔中EM场的相互作用，以及拉比振荡、ac-斯塔克位移、兰姆位移和克尔效应等现象。
量子比特控制
如第2章所讨论，量子算法使用单量子比特和双量子比特门实现。此外，第2章表明，单量子比特门可以表示为布洛赫球上的旋转。布洛赫球上的位置可以通过光脉冲操纵，特别是超导量子比特情况下的微波辐射。第3.3.1.1节探讨了辐射与两能级系统或量子比特的相互作用，以理解我们如何控制单量子比特在布洛赫球上的状态。
拉比振荡
光与物质相互作用的最基本场景涉及两能级系统或量子比特与单模EM场的相互作用。这种相互作用导致量子比特态在基态和激发态之间以称为拉比频率的频率振荡。图3.20(a)表明，拉比振荡对应于布洛赫球上态矢量的旋转。我们很快就会发现，这种旋转的速度由拉比频率决定，它受场的振幅和量子比特的偶极矩影响。
现在让我们探索光-物质相互作用的两个模型：半经典拉比模型和杰恩斯-卡明斯模型。半经典模型使用量子化的原子模型结合经典的电磁场描述。另一方面，杰恩斯-卡明斯模型对原子和场都进行量子化。
拉比模型基于场的经典表示E(t)的假设，其给出如下：E(t) = Ex(t) = E₀cos(ωt)[16]。原子被认为量子化为两个态：基态|g⟩和激发态|e⟩。场与原子之间的相互作用通过原子的偶极矩d = -er发生，其中e表示电子电荷，r对应于原子的大小。描述原子与场之间相互作用的哈密顿量由Ĥ(I)(t) = d̂·E(t) = -d̂E₀cos(ωt)给出，其中d̂是偶极矩算符。
回想第1.5.2.4节，具有零基态能量的孤立非相互作用原子的哈密顿量由Ĥatom = ħωeg|e⟩⟨e|给出。总哈密顿量由原子和前面给出的相互作用哈密顿量组成：
$$\hat{H} = \hat{H}_{atom} + \hat{H}I = \hbar\omega{eg}|e\rangle\langle e| - \hat{d}E_0\cos(\omega t)$$
我们假设找到原子在基态|Cg(t)|²和激发态|Ce(t)|²的概率是时间相关的。因此，使用以下Ansatz来求解薛定谔方程：
$$\psi(t) = C_g(t)|g\rangle + C_e(t)e^{-i(E_e-E_g)t/\hbar}|e\rangle = C_g(t)|g\rangle + C_e(t)e^{-i\omega_{eg}t}|e\rangle$$
将此Ansatz代入含时薛定谔方程iħ∂|ψ(t)⟩/∂t = Ĥ|ψ(t)⟩，得到概率幅的耦合一阶微分方程组：
$$\hbar\dot{C}g = -iE_0\cos(\omega t)d{eg}e^{i\omega_{eg}t}C_e$$
$$\hbar\dot{C}e = -iE_0\cos(\omega t)d{eg}^*e^{-i\omega_{eg}t}C_g$$
在t接近零时求解此微分方程组的初始条件为Cg(0) ≈ 1和Ce(0) ≈ 0，意味着在t ≈ 0时所有布居都在基态。通过将这些初始条件代入(3.29)，我们得到：
$$\hbar\dot{C}g = 0$$
$$\hbar\dot{C}e = -i\frac{E_0}{2}(e^{+i\omega t} + e^{-i\omega t})d{eg}^*e^{-i\omega{eg}t} = -i\frac{E_0d_{eg}^*}{2}\left(e^{+i(\omega-\omega_{eg})t} + e^{-i(\omega_{eg}+\omega)t}\right)$$
使用旋转波近似（RWA），可以忽略e^(-i(ωeg+ω)t)项，这导致：
$$\hbar\dot{C}e = -i\frac{E_0d{eg}^*}{2}e^{-i(\omega_{eg}-\omega)t} = -i\frac{E_0d_{eg}^*}{2}e^{i\Delta t}$$
其中电磁场频率ω与原子跃迁频率ωeg之间的差定义为失谐Δ = ω - ωeg。
现在让我们讨论RWA。考虑接近原子跃迁频率ωeg的辐射频率ω，使得|ωeg - ω| ≪ ωeg + ω。对于具有频率(ωeg - ω)的近共振项，完成一个完整振荡需要τ = 2π/Δ，而具有频率(ωeg + ω)的非共振项将完成许多周期。因此，在τ = 2π/Δ的完整振荡时间尺度上，非共振项将平均为零。这使我们能够忽略非共振项，因为其效应可以忽略不计。这种近似称为RWA。
积分(3.31)中的微分方程，结果为：
$$C_e(t) = -i\frac{d_{eg}^*E_0}{\hbar\Omega_R^{eff}}e^{-i\Delta t/2}\sin\left(\frac{\Omega_R^{eff}t}{2}\right)$$
其中ΩR是拉比频率。广义拉比频率，记为ΩR^eff，表示态在基态和激发态之间振荡的频率。广义拉比频率由下式给出：
$$\Omega_R^{eff} = \sqrt{\Delta^2 + \Omega_R^2} = \sqrt{\Delta^2 + \left(\frac{d_{eg}^*E_0}{\hbar}\right)^2}$$
对于零失谐Δ = 0，广义拉比频率变得等于拉比频率（即ΩR^eff = ΩR = degE0/ħ）。这意味着布洛赫球上态矢量旋转的速率取决于辐射的振幅E0和原子的偶极矩deg。布洛赫球上的共振和非共振拉比振荡描绘在图3.20(a,b)中。
原子处于激发态的概率由下式给出：
$$P_e(t) = |C_e(t)|^2 = \left(\frac{d_{eg}^*E_0}{\Omega_R^{eff}\hbar}\right)^2\sin^2\left(\frac{\Omega_R^{eff}t}{2}\right)$$
原子处于基态的概率可以使用|Cg(t)|² + |Ce(t)|² = 1来计算。方程(3.34)绘制在图3.20(c)中，
对于失谐Δ的各种值。失谐越小，找到原子在其激发态的概率越大。在共振时，Δ = 0，所有原子布居转移到激发态所需的时间由t = πħ/(degE0)给出。因此，更大的激发场和更大的偶极矩导致布洛赫球上更快的振荡。第3.3.1.2节展示了这些相同参数如何影响量子门速度，因为拉比振荡是控制量子比特态和执行量子门的基本原理。
量子比特旋转
为了控制布洛赫球上量子比特的旋转角度，可以使用脉冲辐射代替连续波（CW）辐射，如图3.21所示。通过使用光学布洛赫方程，可以确定布洛赫球上态矢量的完整动力学。
对于零失谐的共振情况，宽度为T的矩形脉冲的旋转角φ由φ = ΩRT给出。对于任意形状的脉冲，旋转角由φ = ∫ΩR(t)dt给出。重要的是要注意，使用不超过三个微波脉冲就可以在布洛赫球上实现任何旋转。可以证明，可以使用具有可控相位的简单微波驱动来进行x和y旋转。直接的z旋转可以通过快速磁通调谐或引起ac-斯塔克位移的非共振驱动来完成，我们很快会看到。
门速度指的是在布洛赫球上操纵量子比特态的速率。更高的门速度允许在特定时间范围内执行更多的门操作。如(3.51)所示，更大的偶极矩导致更高的拉比频率，这需要更短的脉冲持续时间来在布洛赫球上实现特定角度。与自然原子相比，transmon量子比特等人工原子相当大，跨越几百微米的长度。因此，它们具有相当大的偶极矩和相应的大ΩR。这意味着由于更大的拉比频率，人工原子的门实现比自然原子更快。
除了门速度外，门保真度在量子比特操作中也起着关键作用，因为具有高保真度的门对于量子纠错至关重要。已经实现了99.9%的门保真度（相当于每1,000次操作一次错误）。有关门保真度和量子纠错的更全面信息，请参阅第2章。
绕X和Y轴旋转
量子比特驱动可以表示为[17]：
$$E(t) = \begin{cases} \Omega_x(t)\cos(\omega_d t) + \Omega_y(t)\sin(\omega_d t), & 0 < t < t_g \ 0, & \text{其他情况} \end{cases}$$
这显示了单频载波ωd和两个独立的正交控制Ωx(t)和Ωy(t)；tg是一个门操作所需的时间。
在驱动与量子比特频率零失谐的情况下，绕x或y轴的旋转将遵循Ωx(t)和Ωy(t)的相对权重。例如，可以通过选择驱动Ωx = Ωπ和Ωy = 0来生成π脉冲或比特翻转门σx，该驱动在tg时间内开启，且∫₀^(tg) Ωπ dt = π。这将量子比特布居从基态带到激发态，反之亦然。π脉冲同样可以仅通过切换Ωy = Ωπ和Ωx = 0作为y旋转来执行。为了制造量子比特的叠加，也可以执行π/2脉冲绕x和y轴来分别生成(|0⟩±|1⟩)/√2和(|0⟩±i|1⟩)/√2。可以使用x和y旋转的组合来执行绕任意轴的任意旋转。
绕Z轴旋转
回想一下，x-y平面中的量子比特态开始在量子比特跃迁频率下绕z轴进动。因此，操纵量子比特的频率可以调整其进动的速率和方向。这可以通过两种方法实现：外部磁通或ac-斯塔克位移。
磁通偏置门
使用磁通偏置线可以改变SQUID的约瑟夫森能，从而改变量子比特的频率。对于EJ ≫ EC的transmon量子比特，量子比特哈密顿量读作Hq = √(8EJmaxEC cos(πΦ/Φ₀))σz/2。因此，z相位θz的量可以通过在门周期tg上控制Φ来控制：
$$\theta_z = \int_0^{t_g} dt \sqrt{8E_{J\max}E_C\cos(\pi\Phi(t)/\Phi_0)}$$
ac-斯塔克位移
ac-斯塔克位移也可用于控制绕z轴的旋转。如第3.3.2.3节所讨论，量子比特频率可以根据腔中的光子数量进行偏移。
可以通过采用非共振ac-斯塔克位移效应（见第3.3.2.3节关于ac-斯塔克位移）来实现绕Z轴的直接旋转以偏移单量子比特的相位，其中量子比特跃迁频率，随后其相位，由于虚光子跃迁而改变。注意，驱动必须足够失谐于量子比特跃迁频率，以避免通过σx项诱导直接跃迁。
量子比特驱动脉冲整形
矩形脉冲在实际应用中不用于控制量子比特态；相反，优先选择高斯或其他脉冲形状。很快，我们将理解为什么会这样。此外，由于transmon量子比特的弱非谐性，有必要采用最优脉冲控制技术来减轻由泄漏到第三能级引起的相位和布居误差。
脉冲整形广泛用于物理学和工程学的各个领域，以针对特定目的定制脉冲形状，例如减少占用带宽。采用不同的脉冲整形滤波器，包括升余弦、sinc和高斯。滤波器的选择涉及权衡，考虑因素如旁瓣、频谱宽度和易于实现。
在量子比特实验中，希望具有带限脉冲以避免激发高阶跃迁，如第二激发态|f⟩。（回想|g⟩表示基态，|e⟩是第一激发态。）让我们探索脉冲形状如何影响高阶量子比特跃迁。
图3.22(a)说明矩形脉冲在频域中表现出sinc形状，占据相对较宽的带宽。足够高频率处存在非零频率分量可能无意中激发不期望的高阶量子比特跃迁。通过平滑矩形脉冲的尖锐边缘，我们可以消除高频分量并限制脉冲的带宽。现在，让我们检查高斯脉冲的傅里叶变换。高斯脉冲的独特之处在于其傅里叶变换也是高斯函数。图3.22(b)显示，高斯脉冲的频谱内容随着频率增加而接近零，其带宽受限，从而防止高阶量子比特激发。
图3.22(c)说明了时域中具有不同宽度的高斯脉冲的傅里叶变换。根据傅里叶变换的缩放特性，减小时域中的脉冲宽度会导致频域中带宽的增加，反之亦然。时域中具有标准差σ的高斯脉冲对应于频域中高斯标准差σf = (2πσ)^(-1)。
处理时域中较长的脉冲时，它们在频域中产生较短的脉冲。通过调整脉冲宽度，我们可以确保
频率带宽保持显著小于第三能级的非谐性，通常在约300-450 MHz的频率范围内。控制脉冲宽度以避免第三能级的显著效应很重要，特别是当使用σ = 1-2 ns范围的高斯脉冲时。然而，通常不优先使用较长的脉冲，因为较短的脉冲允许较短的门操作，能够在退相位和弛豫发生之前实现更多的量子比特门。即使使用较长的脉冲，频域中的宽度仍可能包含量子比特|e⟩↔|f⟩跃迁，特别是在具有相对较低非谐性的设计中。
为了进一步改进高斯脉冲的性能，我们可以使用称为绝热门导数去除（DRAG）脉冲的技术[18]。DRAG脉冲有效地消除了|e⟩↔|f⟩量子比特驱动跃迁频率处的频率分量，如图3.22(d)所示。通过使用DRAG优化量子比特驱动脉冲，我们可以成功抑制计算子空间外的泄漏，并最小化由与更高能级耦合引起的相位误差。
在即将到来的章节中，我们将更详细地探讨使用任意波形发生器（AWG）等技术生成脉冲。
量子比特读出
为了读出量子比特的状态，有必要确定它是处于基态还是激发态。这个过程必须以最小的相互作用进行，以避免对系统的强扰动，这可能导致量子比特状态的改变和波函数的坍缩。实现这一点的一种方法是通过称为量子非破坏性（QND）测量的技术，其中量子比特与腔耦合，通过观察腔的共振频率的偏移来确定量子比特的状态。这种称为CQED的技术已在量子光学领域得到广泛研究。它提供了一种研究光与物质相互作用的手段，包括相互作用的自旋和振荡器的物理。这种方法可以直接应用于微波范围内的超导量子比特，我们很快会看到。
珀塞尔效应
如第3.2节所示，将原子耦合到真空的共振模式导致自发辐射或量子比特弛豫。原子与真空模式的相互作用可以通过修改原子的环境来设计。通过将原子放入腔中（现在，将腔视为限制光的盒子），真空模式的密度及其空间分布被修改，如图3.23(a)所示。
让我们考虑一种场景，其中原子被放置在共振腔内（即，其基模与原子跃迁频率对齐的腔）。在这种设置中，原子的偶极与腔模式的偏振对齐，并且它位于最大场位置，如图3.23(b)所示。当发射器线宽窄于腔线宽时，自发辐射的概率增加到其体值之外。这种自发辐射速率的增强由珀塞尔因子FP = (3λc³/4π²)(Q/V)确定，其中V是共振模式的体积，Q是腔的品质因数，λc是材料中的波长[16]。共振模式的体积是衡量腔内EM场空间限制的指标。较小的模式体积增强光-物质相互作用。这种自发辐射的增强与由于腔的存在而增加的真空模式密度有关。减小真空模式的密度可以抑制自发辐射速率（见第3.3.2.2节中的珀塞尔滤波器）。这表明经典宏观系统（即腔）可以与原子相干耦合并控制其辐射特性。这种技术将用于量子比特读出，我们很快会看到。
腔量子电动力学
腔充当通过反射限制EM能量的谐振器。反射机制的选择取决于EM场的频率。镜子用于光学腔中的反射，开放式微波传输线（2D）或金属外壳（3D）形成微波腔，可以使用两个声学镜（布拉格反射器）创建声学腔。由于固有损耗，腔只能将光子存储有限的时间。光子离开腔的速率，记为κ，与光子在腔内的寿命τ成反比，τ代表光子在丢失前在腔内停留的持续时间。光子损耗率κ也与腔的品质因数Q相关，表示为κ = ω/Q。有损谐振器的频谱呈现洛伦兹形状，具有由κ确定的有限线宽。第5章更详细地介绍了谐振器。
现在，让我们考虑原子和腔的组合。图3.24(a)说明了一个通用的CQED系统，由两个反射表面组成，原子位于腔的场最大值处。通过镜子入射波和反射波的叠加在腔内形成驻波。驻波与原子相互作用，导致原子激发的交替周期（由于光子吸收）和弛豫（由于光子发射）。原子与腔场相互作用的速度由耦合因子g决定。
表3.3比较了各种腔QED系统的长度尺度。较大的原子尺寸对应于较大的偶极矩，这导致较大的耦合因子。对于光，波长约为λ ≈ 10⁻⁷-10⁻⁶ m，自然原子的半径数量级为r ≈ 10⁻¹⁰ m。因此，原子的大小与光波长相比很小，光场可以被认为是原子上的常数。然而，对于耦合到表面声波（SAW）的transmon，波长与transmon的大小相当，使其成为巨原子。在这种情况下，多个耦合点导致强干涉效应，导致频率相关的弛豫速率和兰姆位移。利用巨原子中的这种干涉效应，可以设计弛豫速率、兰姆位移和非谐性[19]。
图3.24(b)比较了光学和微波CQED系统的元件。图3.24(c,d)显示了transmon量子比特的平面（2D）和3D CQED系统。稍后，我们将讨论每种结构的细节。
杰恩斯-卡明斯（JC）模型
我们之前使用半经典拉比模型分析了自由空间EM场与量子比特的相互作用。在该模型中，我们将EM场经典处理而不进行量子化。我们接下来使用著名的杰恩斯-卡明斯（JC）哈密顿量来模拟量子比特与腔之间的相互作用，该模型采用EM场以及原子的量子化。
EM场的量子化
在EM场量子化中，找到一种用量子谐振子表示EM场哈密顿量的方法。考虑沿z轴长度为L的一维腔，E场在x̂方向偏振，使得E(r,t) = Ex(z,t)x̂。可以证明，EM场哈密顿量可以用产生和湮灭算符â和â†表示如下：
$$\hat{H} = \hat{H}_{field} = \hbar\omega_c\left[\hat{a}^\dagger(t)\hat{a}(t) + \frac{1}{2}\right] \approx \hbar\omega_c\hat{a}^\dagger(t)\hat{a}(t) = \hbar\omega_c\hat{a}^\dagger\hat{a}$$
其中零点能量在ħωc/2处。电场和磁场可以用产生（产生）和湮灭（湮灭）算符表示：
$$\hat{E}_x(z,t) = E_0[\hat{a}(t) + \hat{a}^\dagger(t)]\sin(kz)$$
$$\hat{B}_y(z,t) = B_0[\hat{a}(t) - \hat{a}^\dagger(t)]\cos(kz)$$
与半经典拉比模型类似，JC哈密顿量由三项组成：孤立原子、EM场及其相互作用：Ĥ = Ĥatom + Ĥfield + ĤI。自由场哈密顿量由Ĥfield = ħωcââ†给出，如(3.37)中获得。
两能级原子基态和激发态可以写为|g⟩ = (0 1)ᵀ，|e⟩ = (1 0)ᵀ。然后哈密顿量可以写为：
$$\hat{H} = E_g|g\rangle\langle g| + E_e|e\rangle\langle e| = \begin{pmatrix} E_e & 0 \ 0 & E_g \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} E_g + E_e & 0 \ 0 & E_g + E_e \end{pmatrix} + \frac{1}{2}\begin{pmatrix} E_e - E_g & 0 \ 0 & -(E_e - E_g) \end{pmatrix} = \frac{1}{2}(E_g + E_e)\hat{1} + \frac{1}{2}(E_e - E_g)\hat{\sigma}_z$$
其中ωa是原子跃迁频率，其中能量差可以写为ħωa = Ee - Eg。由于我们只关心能量差，我们可以将零点能量移动到Eg + Ee。使用σ̂z泡利算符，自由原子哈密顿量变为：
$$\hat{H}_{atom} = \frac{1}{2}\hbar\omega_a(|e\rangle\langle e| - |g\rangle\langle g|) = \frac{1}{2}\hbar\omega_a\hat{\sigma}_z$$
场通过其偶极矩d̂与原子相互作用。我们还假设我们将原子放在电场最大的位置，因此sin(kz) = 1。然后相互作用哈密顿量读作：
$$\hat{H}_I = -\hat{\mathbf{d}} \cdot \hat{\mathbf{E}} = -\hat{d}\sqrt{\frac{\hbar\omega}{\varepsilon_0 V}}\frac{1}{2}(\hat{a} + \hat{a}^\dagger)$$
其中d̂ = d̂·e，e是场方向的单位矢量。我们现在引入原子跃迁算符ŝ⁺ = |e⟩⟨g| = (0 1; 0 0)和ŝ⁻ = |g⟩⟨e| = (0 0; 1 0)。由于宇称考虑，可以说⟨e|d̂|e⟩ = 0 = ⟨g|d̂|g⟩。因此，我们有d̂ = d|g⟩⟨e| + d*|e⟩⟨g| = d(ŝ⁻ + ŝ⁺)。我们假设矩阵元deg = ⟨g|d̂|e⟩是实数。因此，系统的总哈密顿量变为：
$$\hat{H} = \frac{1}{2}\hbar\omega_a\hat{\sigma}z + \hbar\omega_c\hat{a}^\dagger\hat{a} + \hbar g(\hat{s}+ + \hat{s}_-)(\hat{a} + \hat{a}^\dagger)$$
其中单光子偶极耦合强度定义为：
$$g = -d\sqrt{\frac{\hbar\omega}{\varepsilon_0 V}}\frac{1}{2}$$
四个原子-场耦合项(ŝ⁺ + ŝ⁻)(â + â†)中的两个可以通过应用旋转波近似来忽略，如下所述。
我们使用谐振子湮灭算符的海森堡运动方程（见第1.6.5节）：
$$\frac{d\hat{a}}{dt} = \frac{i}{\hbar}[\hat{H}, \hat{a}] = \frac{i}{\hbar}\left[\hbar\omega\left(\hat{a}^\dagger\hat{a} + \frac{1}{2}\right), \hat{a}\right] = i\omega\hat{a}^\dagger\hat{a}\hat{a} - i\omega\hat{a}\hat{a}^\dagger\hat{a} = -i\omega[\hat{a}, \hat{a}^\dagger]\hat{a} = -i\omega\hat{a}$$
使用(3.43)，我们找到湮灭算符的时域解â(t) = â(0)e^(-iωt)。同样，可以证明â†(t) = â†(0)e^(iωt)，ŝ⁺(t) = ŝ⁺(0)e^(iω₀t)，和ŝ⁻(t) = ŝ⁻(0)e^(-iω₀t)。算符乘积看起来像ŝ⁺â ~ e^(i(ω₀-ω)t)（原子由于光子吸收而到激发态），ŝ⁺↠~ e^(i(ω₀+ω)t)（原子到激发态，并产生光子），ŝ⁻â ~ e^(-i(ω₀+ω)t)（原子到基态，并吸收光子），ŝ⁻↠~ e^(-i(ω₀-ω)t)（原子到基态，并产生光子）。只有ŝ⁺â和ŝ⁻↠conserve能量，其他两项不守恒，因为它们表示原子和场模式的同时激发或弛豫。由于后两项在中等ac场中具有小概率，我们只保留两个能量守恒项。这称为RWA。如果添加光子或添加量子比特激发的能量远大于耦合或它们之间的能量差(ω + ωa) ≫ g，|ωr - ωa|，则此近似成立。特别是，当耦合强度g ≪ ω, ωa且两个系统接近简并~ ω, ωa时，可以丢弃非守恒能量项。因此，哈密顿量变为：
$$\hat{H} = \frac{1}{2}\hbar\omega_a\hat{\sigma}z + \hbar\omega_c\hat{a}^\dagger\hat{a} + \hbar g(\hat{s}+\hat{a} + \hat{s}_-\hat{a}^\dagger)$$
以下部分检查了JC哈密顿量的解。
JC哈密顿量的解
(3.41)中的JC哈密顿量可以解析求解。原子的未耦合本征态（基态和激发态|g⟩, |e⟩）和场（光子数态|n⟩）称为裸态。裸态不再是JC哈密顿量的本征态。原子-场耦合解除了它们的简并性，并导致裸态的纠缠，创建修饰态|n,e⟩和|n+1,g⟩。这意味着描述原子-腔系统的唯一方法是描述整个系统。换句话说，系统不能通过单独描述原子或腔的状态来描述（见第2.2节）。哈密顿量可以表示为[16]：
$$H_n = \begin{pmatrix} \hbar\omega_c(n+\frac{1}{2}) + \frac{\hbar\Delta}{2} & \hbar g\sqrt{n+1} \ \hbar g\sqrt{n+1} & \hbar\omega_c(n+\frac{1}{2}) - \frac{\hbar\Delta}{2} \end{pmatrix}$$
其中失谐为Δ = ωa - ωc。该哈密顿量的本征能量为：
$$E_n^+ = \left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega_c + \frac{1}{2}\hbar\Omega_n$$
$$E_n^- = \left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega_c - \frac{1}{2}\hbar\Omega_n$$
其中广义拉比频率Ωn为：
$$\Omega_n = \sqrt{\Delta^2 + \Omega_0^2(n+1)}$$
Ω₀ = 2g称为真空拉比频率。本征态为：
$$|1n\rangle = \sin\theta_n|e,n\rangle + \cos\theta_n|g,n+1\rangle$$
$$|2n\rangle = \cos\theta_n|e,n\rangle - \sin\theta_n|g,n+1\rangle$$
系数为：
$$\cos\theta_n = \frac{\Omega_n - \Delta}{\sqrt{(\Omega_n-\Delta)^2 + 4g^2(n+1)}}$$
$$\sin\theta_n = \frac{2g\sqrt{n+1}}{\sqrt{(\Omega_n-\Delta)^2 + 4g^2(n+1)}}$$
在共振Δ = 0时，两个最大纠缠的对称和反对称叠加态被E₁n - E₂n = ħΩ₀√(n+1)分裂，如图3.25中的能级图所示。能级分裂取决于耦合
因子g和腔中的光子数n。因此，如果我们从基态原子和腔中的一个光子开始，原子吸收光子并到激发态|g,1⟩ → |e,0⟩，反之亦然。此外，这种相互作用以真空拉比频率Ω₀ = 2g的速率发生。下一节讨论真空拉比振荡。
真空拉比振荡
全量子化和半经典形式的光-物质相互作用之间的区别在于，半经典表达式中的广义拉比频率（具有失谐的拉比频率）被Ω̃₀√(n+1)取代。这种显著差异表明，即使具有零场振幅或没有光子（n=0）的真空场也可以引起相干振荡并耦合两个修饰态。这就是Ω₀称为真空拉比频率的原因。
任意态|ψ(t)⟩ = c₁n(t)|1n⟩ + c₂n(t)|2n⟩的系数c₁n(t), c₂n(t)可以表示为：
$$\begin{pmatrix} c_{2n}(t) \ c_{1n}(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \exp(i\Omega_n t) & 0 \ 0 & \exp(-i\Omega_n t) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_{2n}(0) \ c_{1n}(0) \end{pmatrix}$$
在零失谐Δ = 0的共振情况下，对于初始处于激发态的态，这给出：
$$|c_{e,n}(t)|^2 = \cos^2(g\sqrt{n+1}t)$$
$$|c_{g,n+1}(t)|^2 = \sin^2(g\sqrt{n+1}t)$$
即使没有腔中的光子n = 0，原子和场模式之间也存在称为真空拉比振荡的能量量子的相干交换：
$$|c_{e,0}(t)|^2 = \cos^2(gt) = \frac{1}{2}(1 + \cos(\Omega_0 t))$$
真空拉比振荡与激发原子的不可逆指数衰减非常不同。周期性能量交换与两个耦合摆的类比。
强耦合
当原子与腔之间的相互作用速率显著快于自发辐射速率和光子损耗速率时，发生强耦合，记为g ≫ (κ, γ)，其中(κ, γ)表示κ和γ中较大的一个。在这种情况下，自发辐射可以逆转，允许腔中最初激发的原子将光子发射到单模电磁腔中，然后随后重新吸收它。随着时间的推移，这些振荡将由于腔损耗而衰减，最终导致光子离开腔。可以通过分析阻尼拉比振荡的包络来确定原子的弛豫时间T₁。强耦合系统是指尽管存在耗散，拉比动力学仍然可以持续的系统[7-20]。
可以证明，强耦合量子系统的许多特征特性可以从简单耦合谐振子的经典分析中导出，例如两个耦合的弹簧-质量系统。经典和量子耦合振子在强耦合区域共享一个有趣的特性，称为反交叉。两个未耦合振子的本征能量作为失谐的函数如图3.26(a)所示。当引入耦合时，发生反交叉（即，零失谐处出现分裂），称为真空拉比振荡，是强耦合的标志。这显示在图3.26(b)中。如果g ≪ (κ, γ)，则相互作用被认为是弱耦合。当两个系统远失谐（即Δ = ωa - ωc ≫ 1）时，腔的共振频率等于其裸频率。然而，当Δ ≈ 0（即，原子和腔共振）时，出现分裂，其大小与耦合因子成正比（即2g）。现在很清楚为什么需要大的耦合因子g来增加色散位移χ，从而导致量子比特态之间的足够大的可区分性。大的g也意味着与环境的强耦合，这导致
量子比特弛豫。可以证明，由于谐振器-环境耦合引起的量子比特的珀塞尔弛豫速率由γres-envPurcell = (g/Δ)²κ给出[10]。这表明，通过减小量子比特与腔之间的失谐Δ，弛豫速率增加，尽管增加Δ也会增加色散位移和量子比特态的可区分性。此外，为谐振器具有更大的带宽κ允许快速读出，我们很快会看到，但它也增加了弛豫速率。因此，设计g和κ以允许快速读出而不损害量子比特相干性是至关重要的。
让我们看看耦合到CPW腔的transmon量子比特的实际数值。量子比特-腔耦合强度为g₀/2π = 100 MHz，腔频率为ωr/2π = 7 GHz，光子衰减率为κ/2π = 300 kHz，量子比特充电能为EC/2π = 340 MHz。量子比特从其磁通甜点失谐约1.5 GHz，共振频率为ω₀₁/2π = 6 GHz。
相同的色散位移概念可以应用于多个量子比特的多路复用读出，如图3.27(c)所示。每个谐振器耦合到一个量子比特和共享的RF读出线。通过检查图3.27(c)中描绘的每个谐振器的功率谱中的色散位移，可以确定每个量子比特的状态。
量子比特读出要求
实现高保真度量子比特读出需要满足两个要求。首先，需要有足够大的信噪比（SNR）以清晰地区分色散位移的峰值。这可以通过使用量子极限放大器来实现，如约瑟夫森参量或SLUG放大器（见第5章）。其次，读出过程必须足够快，以在远短于量子比特相干时间的时间内完成。漫长的读出时间增加了量子比特弛豫的可能性，从而降低读出保真度。将证明珀塞尔滤波器可以实现快速读出。通过结合量子极限放大器和珀塞尔滤波器，可以在约100 ns内实现99%或更高的读出保真度，这比当前量子比特弛豫时间短得多[10]。
高SNR
我们看到腔频率的色散位移可以用于量子比特态的读出。为了解决|0⟩和|1⟩峰之间的分离，SNR需要足够大。我们可以定义一个称为读出保真度F的参数，如下所示，它强烈依赖于SNR：
$$F = \frac{1}{2}\left(1 + \text{erf}\left(\frac{\text{SNR}}{2}\right)\right)$$
其中erf是高斯误差函数[22]。99%的读出保真度对应于100次测量中的一次错误读数。为了实现F = 0.99，需要SNR = 10。
实现足够大SNR的一种方法是重复量子比特测量并使用时间平均，这有助于通过因子√N改善SNR，其中N是平均中使用的信号数量。因此，将SNR改善10倍可将测量时间减少100倍。图3.28(a,b)显示，通过增加采样时间，实线所示峰之间的分离随时间线性增加，而峰宽仅随√t增加[10]。
改善SNR的另一种方法是在读出链中使用具有极低噪声系数的量子极限放大器，这允许单次读出以显著减少测量时间。
让我们分析读出通常需要多少信号功率才能实现SNR = 10。如第4章所讨论，SNR定义为信号功率与噪声功率之比SNR = P/N。真空噪声功率可以计算为噪声功率密度[即，真空中的噪声功率PSDvac = ħω/2 = -207 dBm/Hz]，乘以读出谐振器的带宽，通常约为1 MHz，因此κ = 2π × 1 MHz。因此，SNR = P/(κ × PSDvac)。因此，对于SNR = 10，读出功率在6 GHz频率下约为P ≈ -130 dBm。
现在，有人可能会说我们可以通过增加读出功率或等效地增加腔中的平均光子数n来轻松改善SNR，其中过耦合谐振器的功率与平均光子数相关为P ≈ nħωκ。问题是，对于具有大量光子的腔，量子比特诱导的频率位移将取决于腔中的光子数，由于ac-斯塔克位移，以及量子比特的状态，如第3.3.2.3节所示。
实际上，测量仪器的PSD通常在-150 dBm/Hz范围内，远高于真空噪声基底。要达到SNR = 1，需要25 ms的测量时间，这比量子比特的弛豫时间大得多。因此，需要放大来改善SNR并减少测量时间。我们在第5章研究量子极限放大器，如参量放大，以了解它们如何通过噪声压缩技术改善读出链的整体SNR。
最近，研究人员能够使用搁置技术、读出谐振器的双音读出激励和机器学习算法，在没有量子极限放大器的情况下执行快速、高保真度量子比特读出[24]。
快速读出
根据DiVincenzo标准，量子比特需要与环境充分隔离以防止退相干，但仍可访问以进行态读出，这代表两个矛盾的标准。我们观察到，将量子比特耦合到环境会导致由于增强的自发辐射而引起的量子比特弛豫。在测量期间发生与环境的耦合，需要耦合到读出端口。读出保真度F受读出时间τro的影响，如F(τro) = 1 - e^(-τro/T1)给出，其中τro = τrd + τs/2是读出的总时间，τrd是由于谐振器瞬态的读出延迟，τs是采样时间[10]。因此，有必要执行快速单次读出，使得τro ≪ T1，这需要减少两个时间因子τrd和τs。τs可以通过保持积分时间τs尽可能短来减少。
为了减少τrd，需要增加谐振器的带宽，因为更大的带宽导致瞬态的更快衰减。谐振器的耦合区域在减少响应时间方面也起着重要作用。我们在第5章研究谐振器的各种耦合区域。强耦合（过耦合）具有低品质因数（高带宽）的谐振器适合执行快速测量。此外，大带宽有利于将量子比特重置到其基态，这可以通过将其频率带到腔共振附近并使用珀塞尔增强衰减率来完成。欠耦合具有大品质因数的谐振器对量子比特读出保真度产生不利影响，因为在量子比特寿命期间收集的信号光子较少。大品质因数谐振器可以在长时间尺度上将光子存储在腔中，具有作为量子存储器的潜在用途[25]。
在色散区域运行时，量子比特和谐振器彼此远失谐，允许通过使用所谓的珀塞尔滤波器仔细设计谐振器和量子比特看到的阻抗，分别设计其环境。滤波器设计为在谐振器频率处提供足够大的带宽，与读出端口强耦合，同时在量子比特频率处将量子比特与其环境隔离，如图3.29(a)所示。这种技术允许快速读出，同时保护量子比特免于弛豫到其环境中。
图3.29(b)显示了量子比特（ωq）、谐振器（ωr）、珀塞尔滤波器和环境之间的耦合。量子比特以耦合强度g与谐振器电容耦合。谐振器以光子损耗率κ与珀塞尔滤波器耦合。然后珀塞尔滤波器与环境耦合。图3.29(a)所示的珀塞尔滤波器的透射谱保护量子比特，同时允许谐振器场快速衰减到环境。量子比特-谐振器-滤波器-环境链的衰减率由下式给出[10]：
$$\gamma_{\text{res-filter-env}}^{\text{Purcell}} = \kappa\left(\frac{g}{\Delta}\right)^2\left(\frac{\omega_q}{\omega_r}\right)\left(\frac{\omega_r}{2Q_F\Delta}\right)$$
其中QF表示珀塞尔滤波器的品质因数。
取决于所需的带宽、插入损耗（见第5章）和量子比特-谐振器失谐，可以实现珀塞尔滤波器。珀塞尔滤波器可以简单到四分之一波长阻抗变换器[26]。它也可以实现为宽带阶梯阻抗滤波器[26]或低Q带通滤波器，这也充当量子总线，使得可以连接共享同一放大器链的多个频率多路复用读出谐振器。
ac-斯塔克位移和兰姆位移
(3.58)中的哈密顿量可以被解释为取决于量子比特态的腔频率的偏移，或作为与腔中光子数成正比的量子比特频率的ac-斯塔克位移加兰姆位移[27]。我们可以将(3.58)中的哈密顿量重写如下：
$$\hat{H} = \hbar\omega_r(\hat{a}^\dagger\hat{a} + 1/2) + \frac{1}{2}(\hbar\omega_a + \hbar\chi + \hbar 2\chi\hat{a}^\dagger\hat{a})\sigma_z$$
色散相互作用可以被视为由腔中真空涨落诱导的g²/Δ的恒定兰姆位移¹和与光子数相关的
¹ 自然原子如氢原子也经历兰姆位移，由于原子与真空场的耦合，否则在经典空空间中应具有相同的能量。
称为ac-斯塔克位移的(2g²/Δ)n位移，其中n = ⟨â†â⟩是腔中存在的平均光子数。由于兰姆位移和ac-斯塔克位移引起的量子比特频率的偏移由下式给出：
$$\delta\omega_q = \omega_q + \frac{g^2}{\Delta} + \frac{2g^2}{\Delta}n$$
因此，在这种情况下，原子和腔保持未耦合，原子的能级经历g²/Δ的恒定兰姆位移和2ng²/Δ的光子相关ac-斯塔克位移。这一特性使得可以使用微波脉冲调谐量子比特跃迁频率，以产生绕z轴的受控旋转。此外，这表明测量功率，与腔中的光子数成正比，可以影响量子比特的频率。
使用ac-斯塔克位移的光子数校准
读出的QND方面取决于谐振器的光子布居，因为量子比特的弛豫和退相位速率受谐振器中光子数的影响[23]。此外，我们将发现，随着腔中光子数的增加，非线性效应出现。如第4章所讨论，一些固有非线性系统可以在小信号条件下近似为线性；即，用足够小的幅度驱动系统。然而，在具有足够大激励的大信号区域中，必须考虑系统的非线性。JC哈密顿量的小信号和大信号区域如图3.30(a)所示。
色散JC哈密顿量本质上是非线性的；然而，如果光子数远小于临界光子数（即n ≪ ncrit = Δ²/4g²），则可以线性近似，因此ncrit确定线性和非线性近似之间的边界。对于g = 150 MHz和失谐Δ = 1.5 GHz，ncrit = 25κ光子。回想一下，腔中的光子数由n ≈ P/ħωκ给出。因此，保持在线性区域，腔的平均布居必须在几个光子的范围内，对应于低至-150 dBm的功率水平。因此，在进行测量时，必须调整音调的幅度，以保持腔的平均布居远低于临界光子数。存在插入损耗时，共振时腔内部的平均光子数由n = 2PinILQL/ħω²给出，其中IL是谐振器的插入损耗，QL是腔的品质因数。图3.30(b)显示了具有测量功率线性依赖的ac-斯塔克位移量子比特跃迁频率。
随着我们增加光子数并达到n ≈ ncrit，线性近似开始完全失效，谐振器的光子显著布居激发能级。必须考虑JC哈密顿量中的更多项以考虑非线性效应，其中这些项是克尔类型的。此外，增加腔中的光子数以降低相干时间为代价[26]。
图3.31(a,b)显示了由于光子数增加引起的量子比特频率的线展宽和偏移。如图3.31(c)所示，当χ > γ时，量子比特的频谱可以分解为单个光子数峰，这种光子数分裂模式允许确定腔的平均光子数。如图3.31(c)所示，量子比特频率峰将位于ωn = ωq + 2nχ处。注意，由于红外光子的泄漏或输入或输出微波线上的衰减器阶段冷却不足，腔中始终存在非零数量的热光子（n = 0.1）。
图3.31(d)中各种光子数的幅度加权可用于找到腔中的平均光子数。具有平均值n̄的泊松分布P(n) = e^(-n̄)n̄ⁿ/n!给出第n态的平均占据数。
克尔型非线性项导致腔共振频率ωr的非线性光子数(n)依赖性。克尔型项表示来自JC相互作用的完整非线性的最低阶近似。腔频率的总量子比特态相关色散位移由χ ≅ χge - χef/2给出，其中χge = gge²/Δge是|g⟩ → |e⟩跃迁的色散位移，χef = gef²/Δef是|e⟩ → |f⟩跃迁的色散位移。谐振器的光子数相关共振频率由下式给出：
$$\omega_r(n) = \tilde{\omega}_r + \chi\sigma_z + \zeta n\sigma_z + \zeta’n$$
其中自克尔ζ’和交叉克尔ζ项由下式给出：
$$\zeta’ \approx (\chi_{ge} - \chi_{ef})(\lambda_{ge}^2 + \lambda_{ef}^2)$$
$$\zeta \approx \chi_{ef}\lambda_{ef}^2 - 2\chi_{ge}\lambda_{ge}^2 + \frac{7\chi_{ef}}{4}\lambda_{ge}^2 - \frac{5\chi_{ge}}{4}\lambda_{ef}^2$$
其中λj,j+1 ≡ gj,j+1/Δj,j+1。
虽然高功率测量有其挑战，Reed等人表明，当在非常大的测量功率下工作时，可以使用简单且稳健的测量协议对transmon量子比特进行单次测量[27]。
光谱测量方法
光谱量子比特测量在电路QED中起着至关重要的作用。它们提供关于量子比特能级的基本信息，如基态到第一和第一到第二激发态跃迁能量，揭示充电和约瑟夫森能，并使我们能够表征量子比特光谱。图3.32(a)说明了用于确定量子比特频率的常用量子比特光谱技术。
在CW光谱中，量子比特和读出谐振器同时被驱动。然而，CW光谱的一个缺点是读出谐振器内的光子可以在量子比特驱动期间引起量子比特频率的ac-斯塔克位移。因此，需要以低谐振器驱动功率进行测量以减轻这种效应。
如图3.32(b)所示的脉冲光谱通过仅在关闭量子比特驱动后才激活谐振器驱动来解决ac-斯塔克位移问题。这确保了当驱动量子比特时腔中没有光子。为了避免线宽的功率展宽，建议以低功率驱动量子比特，因为更高的功率会降低量子比特频率的分辨率。然而，为了观察|g⟩ ↔ |e⟩和|e⟩ ↔ |f⟩量子比特驱动跃迁频率，与常规光谱相比，必须以更高的量子比特驱动功率进行测量。这是必要的，以在ωef = 2ωgf/2 - ωge处诱导双光子跃迁。
量子比特-腔耦合的等效电路
耦合到单腔模式的量子比特可以使用等效线性电路表示。该电路由对应于量子比特和腔的LC谐振器组成，通过耦合电容器互连，如图3.33所示。等效电路方法的使用有助于更深入地理解影响耦合动力学的参数，对于最低两个量子比特态有效。这种理解对于设计和优化量子比特-腔系统很有价值。
如第1章所提到，由电感器和电容器组成的电气振荡器可以比作由质量和弹簧组成的机械振荡器。在这个类比中，电容器上的电荷代表质量的位置坐标，而通过电感器的磁通模拟动量的作用[48]。电路量子化的过程遵循一种直接的方法：我们获得电路的哈密顿量，并以类似于量子谐振子哈密顿量的方式重新表述它。随后，我们识别对应于位置和动量的变量，通过定义对易关系和使用降低和产生算符，使系统能够被视为量子谐振子。本节深入探讨从拉格朗日量推导哈密顿量。
电路的拓扑结构如图3.33所示，建议使用节点电路分析。未知变量是每个节点的电压，其等于连接到该节点的电感器磁通的时间导数。我们选择电感器的磁通Φi作为坐标。等效电路的拉格朗日量可以写为[28]：
$$\mathcal{L} = T - V = \frac{1}{2}C_1\dot{\Phi}_1^2 + \frac{1}{2}C_2\dot{\Phi}_2^2 + \frac{1}{2}C_0(\dot{\Phi}_1 - \dot{\Phi}_2)^2 - \frac{1}{2L_1}\Phi_1^2 - \frac{1}{2L_2}\Phi_2^2$$
动能(T)和势能(V)可以通过比较电荷和磁通与位置和动量来获得。通常使用矩阵表示法，其中拉格朗日量可以以矩阵形式写为L = (1/2)Φ̇ᵀCΦ̇ - (1/2)ΦᵀL⁻¹Φ，其中电容矩阵为C = (C₁+C₀ -C₀; -C₀ C₂+C₀)，逆电感矩阵为L⁻¹ = (1/L₁ 0; 0 1/L₂)。
该等效电路具有电容和电感矩阵可以通过检查轻松找到的良好特性。电容矩阵的第i个对角元素是连接到第i个节点的电容之和。对于非对角元素，条目是节点之间的电容的负值。现在，我们要找到哈密顿量。正则动量由Qi = ∂L/∂Φ̇i给出。根据逆电容矩阵，我们得到Φ̇ = C⁻¹Q。哈密顿量可以写为H = QiΦ̇i - L = (1/2)(QᵀC⁻¹Q + ΦᵀL⁻¹Φ)。重写上述哈密顿量得到：
$$H = \frac{1}{2}Q^TC^{-1}Q + \frac{1}{2}\Phi^TL^{-1}\Phi$$
其中Q = -iQZPF(âi - âi†)，Ωi = 1/√(LiCi)是每个共振模式的共振频率，âi - âi†。耦合因子或g因子可以通过查看(3.67)中给出的哈密顿量中的QiQj项的系数来找到。
$$C_{ij}^{-1}Q_iQ_j = -C_{ij}^{-1}Q_{ZPF,i}Q_{ZPF,j}(\hat{a}_i - \hat{a}_i^\dagger)(\hat{a}_j - \hat{a}j^\dagger) = -\hbar\frac{C{ij}^{-1}}{2}\sqrt{\Omega_i\Omega_j C_i^{-1}C_j^{-1}}(\hat{a}_i - \hat{a}_i^\dagger)(\hat{a}_j - \hat{a}_j^\dagger)$$
其中具有角频率单位的g因子由下式给出：
$$g_{ij} = \frac{C_{ij}^{-1}}{2}\sqrt{\frac{\Omega_i\Omega_j}{C_i^{-1}C_j^{-1}}} = \frac{C_0^{-1}}{2}\sqrt{\frac{\Omega_1\Omega_2}{C_1^{-1}C_2^{-1}}}$$
这展示了等效电路组件如何对g因子做出贡献，以及如何调整它们以控制它。
回想一下，谐振器的单模可以使用具有共振频率ωr = 1/√(LrCr)的并联LC电路建模。光子损耗率或谐振器线宽由κ = ωr/Q给出。谐振器两端的电压可以计算为V̂r = Q̂r/Cr，其中其平均值为零⟨0|V̂r|0⟩ = 0。然而，电压的方差不为零⟨0|V̂r²|0⟩ = ħωr/2Cr。
这称为LC振荡器的均方根（RMS）真空电压，对于共振频率的典型值约为~1 μV。量子比特耦合到这个零点运动涨落。在共面波导中，中心线和地之间5 μm的距离产生约E = V/d = 1 μV/5 μm = 0.2 V/m的电场，由于EM电路的性质而很大。空位和缺陷具有偶极矩，这个大场可以耦合到它们，因此我们可以通过将量子信息转移到空位和缺陷来轻易丢失量子信息。因此，解决这个问题的一种方法是降低电场的强度（例如，通过使用3D腔），如图3.24(d)所示。为了补偿弱电场，我们需要使量子比特巨大，使得d·E保持不变。这就是3D腔中的量子比特如此之大的原因，如图3.24(d)所示。在3D腔中使用量子比特导致相干时间T1和T2的大幅增加。
让我们看看耦合到微波腔的transmon量子比特的哈密顿量参数。我们看到LC振荡器的RMS真空电压由V = √(ħωr/2Cr)给出。与栅极电荷相关的量子栅极电压V̂g = √(ħωr/2Cr)(â + â†)为n̂g = CgV̂g/(2e)。通过在(3.14)中描述的电荷量子比特哈密顿量的静电分量中替换此值，然后展开平方，我们推导出表示量子比特与谐振器之间耦合的项，我们推导出项H ∝ -4ECCgV̂gn̂。这包含电荷量子比特态n̂以及量子场振荡器态V̂g，可以简化为Ĥ = 2ħg(â + â†)n̂，其中单量子比特腔耦合强度为g = (Cg/CΣ)(eVrms/ħ) = β(eVrms/ħ)。比率β = Cg/CΣ ∈ {0,1}是耦合电容除以量子比特的总电容。
值得注意的是，量子比特与腔之间的最大无量纲耦合强度g/ωr仅取决于谐振器的几何和介电特性，而不考虑跃迁矩阵元。这意味着单个超导量子比特的耦合强度与精细结构常数α近似相关，由g/ωr ~ 4βα/√εr给出，其中α = e²/(4πε₀ħc)。对于介电常数的实际值，单个量子比特的最大可能耦合强度约为g/ωr ~ 0.1。然而，此限制仅适用于半波传输线谐振器。此外，电感耦合的超导量子比特可以轻易超过此限制，如[8]所示。当多个量子比特耦合在一起到谐振器场时也是如此。
实践中的量子比特控制和读出
图3.34(a)说明了一个耦合到谐振器的transmon量子比特，以及相关的驱动和读出线。量子比特控制涉及两条线：量子比特驱动线（X,Y控制）和磁通偏置线（Z控制）。图3.34(a)提供了量子比特的放大视图，展示了与驱动和读出线的电容耦合。图3.34(b)显示了结构的等效电路，展示了微波读出和控制脉冲。此外，图3.34(b)展示了磁通偏置线的电流Ibias如何通过向SQUID施加磁通来调谐量子比特的频率。
图3.34(c)描绘了室温和低温控制和读出硬件。第7章全面讨论了量子比特的硬件设置。在图3.34(c)中，AWG负责生成磁通偏置脉冲，而另一个AWG和微波信号发生器用于生成微波脉冲以控制量子比特的状态。由AWG生成的读出脉冲由本地振荡器（LO）（CW微波信号）调制，然后应用于读出谐振器的输入。放大和下变频后，读出谐振器的输出被引导到数字化仪。然后数字化信号在主机PC上处理。